Categoría de homotopía de complejos en cadena y un ejemplo de complejo nulo

Question

Dejemos que $\mathcal{A}=A\text{-mod}$ sea una categoría abeliana, donde $A$ sea un álgebra de dimensión finita sobre un campo algebraicamente cerrado. Sea $K(\mathcal{A})$ sea una categoría cuyos objetos son complejos en $\mathcal{A}$ y cuyos morfismos son clases de equivalencia homotópica de morfismos de complejos.

Dejemos que $P^\bullet \in K^- (A\text{-proj})$ con $$ H^j(P^\bullet)=\frac{\ker \; d_{P^\bullet}^j}{\operatorname{im} d_{P^\bullet}^{j-1}} = 0 \text{ for } j\leq-(n+1). $$ Tenemos una secuencia exacta de complejos:

Supongamos que $\operatorname{coker} d^{-(n+1)}$ proyectiva, tenemos $\operatorname{im} d^{-(n+1)}$ proyectiva por complejos de secuencias exactas anteriores.

¿Por qué el complejo $\widetilde{P^\bullet}$ cero en $K^- (A\text{-proj})$ ?

Answer 1

Hay una proposición： Si $A$ es una categoría abeliana con suficiente proyección, entonces $ D^-(A)\cong K^-(A-proj)$ .

Si sabes esto,tu búsqueda no es difícil.Porque el complejo que das es acíclico.Por supuesto,puedes demostrarlo directamente.