¿Integración de la matriz exponencial y el determinante?

Question

¿Es posible demostrar $$\int \exp\{-\frac{1}{2}(\beta-\hat\beta)^T(X^TH^{-1}X)(\beta-\hat\beta)\}\text{d}\beta=\{\det(X^TH^{-1}X)\}^{-1/2},$$ donde $\hat\beta,X,H$ ¿se conocen todos?

¿Qué condiciones adicionales se requieren para que se mantenga?

Answer 1

Realizar un cambio de variables $x = (X^T H^{-1} X)^{1/2} (\beta - \hat\beta)$ . A partir de la fórmula habitual que implica el jacobiano del determinante, obsérvese que $dx = \det((X^T H^{-1} X)^{1/2}) d\beta$ . Así que has reducido el problema a encontrar $\int \exp(-\tfrac12 x^T x) \, dx$ . Y esto es bien conocido por ser $(2\pi)^{-n/2}$ . La única condición necesaria es que $\det((X^T H^{-1} X)^{1/2}) \ne 0$ .