Una pregunta sobre una reclamación de V. I. Arnold

Question

En su Huygens y Barrow, Newton y Hooke Arnold menciona un notorio que, en su opinión, los matemáticos "modernos" no son capaces de resolver rápidamente. Luego, añade que la excepción que confirma la regla en este caso suyo fue el matemático alemán Gerd Faltings .

Mi pregunta es si alguno de ustedes conoce la historia completa detrás de esas líneas en el libro de Arnold. Es decir, ¿planteó Arnold el problema en alguna parte (tal vez ?) y Faltings fue el único que presentó una solución según el propio corazón de Arnold? ¿La conjetura anterior es totalmente ajena al desarrollo real de las cosas?

Les agradezco de antemano sus perspicaces respuestas.

P.D. Parece que este teaser de Arnold acabó convirtiéndose en algo de culto en ciertas ramas de la comunidad matemática rusa. A continuación puede encontrar una fotografía tomada por un compañero mío de una de las paredes de la cafetería del IUM (donde IUM significa Universidad Independiente de Moscú ). Como diría el matemático hindú Bhskara (o eso dice la leyenda): ¡OJO!

Answer 1

He aquí un problema que escuché a Arnold en una clase de ODE cuando yo era estudiante. En efecto, ese día Arnold habló de Barrow, Newton y Hooke, y de cómo los matemáticos modernos no pueden calcular rápidamente, pero para Barrow esto sería un ejercicio de un minuto. A continuación, retó a cualquier persona del público a hacerlo en 10 minutos y ofreció una recompensa monetaria inmediata, que no se cobró. Reconozco que yo tardé más de 10 minutos en hacerlo calculando series de Taylor.

Esto es consistente con lo que Angelo está describiendo. Pero por lo que sé, esto podría haber sido una suposición afortunada por parte de Faltings, aunque es bien conocido por ser muy rápido y afilado.

El problema era encontrar el límite

$$\lim_{x\to 0} \frac { \sin(\tan x) - \tan(\sin x) } { \arcsin(\arctan x) - \arctan(\arcsin x) }$$

La respuesta es la misma para $$\lim_{x\to 0} \frac { f(x) - g(x) } { g^{-1}(x) - f^{-1}(x) }$$ para dos funciones analíticas alrededor de 0 cualesquiera $f,g$ con $f(0)=g(0)=0$ y $f'(0)=g'(0)=1$ que se puede demostrar fácilmente mirando las expansiones de potencia de $f$ y $f^{-1}$ o, en el caso de Barrow, mirando el gráfico.

Fin de la edición del 8 de abril de 2010

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Inicio de la edición del 9 de abril de 2012

A continuación se presenta un cálculo para las funciones inversas. Supongamos que $$f(x) = x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \dots \quad \text{and} \quad f^{-1}(x) = x + A_2 x^2 + A_3 x^3 + \dots$$

Calculando recursivamente, se ve que para $n\ge2$ uno tiene $$A_n = -a_n + P_n(a_2, \dotsc, a_{n-1} )$$ para algún polinomio universal $P_n$ .

Ahora, dejemos que $$g(x) = x + b_2 x^2 + b_3 x^3 + \dots \quad \text{and} \quad g^{-1}(x) = x + B_2 x^2 + B_3 x^3 + \dots$$

y supongamos que $b_i=a_i$ para $i\le n-1$ pero $b_n\ne a_n$ . Entonces por inducción se tiene $B_i=A_i$ para $i\le n-1$ , $A_n=-a_n+ P_n(a_2,\dotsc,a_{n-1})$ y $B_n=-b_n+ P_n(a_2,\dotsc,a_{n-1})$ .

Por lo tanto, la expansión de la potencia para $f(x)-g(x)$ comienza con $(a_n-b_n)x^n$ y la expansión de la potencia para $g^{-1}(x)-f^{-1}(x)$ comienza con $(B_n-A_n)x^n = (a_n-b_n)x^n$ . Así que el límite es 1.

Answer 2

Esta historia me la contó Dinesh Thakur hace varios años. Esto es lo que me contó. Cuando Arnold planteó esta pregunta, Faltings dijo inmediatamente 1. Después de la charla, alguien felicitó a Faltings por su rapidez, y Faltings respondió que lo que se le ocurrió inmediatamente fue que la respuesta tenía que ser 0 o 1. Como el 1 era la respuesta más interesante, se decidió por ella. Como el 1 era una respuesta más interesante, la eligió.

Answer 3

El comentario de "inspeccionar el gráfico" podría referirse a algo así.

Consideremos dos curvas suaves $y = f(x)$ y $y = g(x)$ que son tangentes a $y = x$ en $(0,0)$ . Para $x$ cerca de 0, definir $u(x)$ y $v(x)$ para que $g^{-1}(x) - f^{-1}(x) = u(x)$ y $f(x) - g(x) = v(x)$ . En la foto, $v(x) = BC$ y $u(x) = AD$ . Pero ambas curvas tienen una pendiente muy cercana a 1, por lo que $AD \approx BC$ es decir $u(x) \approx - v(x)$ y $\frac{f(x) - g(x)}{g^{-1}(x) - f^{-1}(x)} \approx 1$ .

Answer 4

Oí a Arnold contar la historia en una charla, hace veinte años. Había presentado el teaser durante un seminario en Princeton (algún límite que implicaba funciones tangentes, no recuerdo exactamente), y Faltings afirmó inmediatamente que la respuesta era 1. No pude hacerlo rápidamente, no siendo Faltings, pero pensé un poco después, y no era difícil.

Answer 5

El límite $$\lim_{x\to 0}\frac { f(x) - g(x) } { f^{-1}(x) - g^{-1}(x)} = -\left(f'(0)\right)^6$$ aparece en la sección de problemas de Revista de matemáticas donde se calcula bajo el supuesto de que $f$ y $g$ son analíticas en una vecindad de $0$ Funciones Impares tales que $f'(0)=g'(0)\neq 0$ , $f^{(3)}(0)= g^{(3)}(0)$ y $f^{(5)}(0)\neq g^{(5)}(0)$ (Problema 1672, vol. 77, nº 3, junio de 2004, pp. 234-235) .

En el ejemplo de Arnold, tenemos que $$\sin(\tan x)= x+\frac{x^3}{6}-\frac{x^5}{40}-\frac{55x^7}{1008}+O(x^9)$$ $$\tan(\sin x)= x+\frac{x^3}{6}-\frac{x^5}{40}-\frac{107x^7}{5040}+O(x^9)$$ $$\arcsin(\arctan x)=x-\frac{x^3}{6}+\frac{13x^5}{120}-\frac{341x^7}{5040}+O(x^9)$$ $$\arctan(\arcsin x)=x-\frac{x^3}{6}+\frac{13x^5}{120}-\frac{173x^7}{5040}+O(x^9)$$ Ahora, $$\lim_{x\to 0} \frac { \sin(\tan x) - \tan(\sin x) } { \arcsin(\arctan x) - \arctan(\arcsin x) } = \lim_{x\to 0} \frac { -\frac{55x^7}{1008}+\frac{107x^7}{5040} +O(x^9)} { -\frac{341x^7}{1008}+\frac{173x^7}{5040}+O(x^9)}$$ $$=\lim_{x\to 0} \frac{-\frac{168x^7}{5040}+O(x^9)}{-\frac{168x^7}{5040}+O(x^9)}=1.$$

Dado que hay que utilizar la expansión en serie de Taylor de $f$ y $g$ hasta el séptimo orden, me resulta algo difícil ver el resultado sólo con inspeccionar el gráfico.

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Editar. Y para completar, aquí está el argumento original de Arnold libro (Birkhauser Verlag 1990, P. 108).

Si las gráficas de las funciones analíticas no coincidentes $f$ y $g$ tocar la línea $y = x$ en el origen (Fig. 37), entonces las relaciones $|AB|/|BC|$ y $|BC|/|ED|$ tienden a uno como $A$ tiende al origen. Por lo tanto, el límite requerido de la relación $|AB|/|D'E'|$ es igual a uno.