Divisores de funciones meromórficas en superficies compactas de Riemann

Question

Si $X$ es una superficie de Riemann compacta y $f$ una función meromórfica sobre $X$ dejar $(f)=\sum_i n_iz_i-\sum_jm_jp_j$ sea su divisor. Si $g$ es otra función meromórfica sobre $X$ y $(f)=(g)$ ¿es cierto que $f=cg$ donde $c$ ¿es una constante? ¿O es cierto sólo si $X$ es la esfera de Riemann?

Answer 1

Es cierto para todas las superficies compactas de Riemann.
Sí, es cierto, $div (f/g)=0$ para que $f/g$ es holomorfa y sin ceros, por lo que es una constante no nula.