Fórmula integral de Cauchy: ¿se puede demostrar así?

Question

Consideremos el teorema de Cauchy:

Dejemos que $D\subset \mathbb C$ sea un dominio tal que $\partial D$ es suave y $\overline{D}$ es compacto. Sea $f$ sea holomorfo en $D$ y continua en el cierre. A continuación, $$\int_{\partial D}f(z) dz = 0$$ .

¿Es una prueba válida?

Utiliza el teorema de Stokes como sigue:

$$ \int_{\partial D}f(z) dz = \int_D d(f(z) dz) = \int_D g(z) ddz = 0$$ desde $ddz = 0$ . Aquí $g(z)$ es un mapa suave que es igual a $df(z)$ .

Answer 1

Como dice mollyerin, hay que tener más cuidado. Yo utilizaría el siguiente argumento.

Dejemos que $u,v:D\to\mathbb{R}$ sean las partes real e imaginaria de $f$ y que $x,y,$ sean coordenadas reales en $D$ . Tenemos $$f(z)dz=(u(z)+iv(z))(dx+idy)=u(z)dx-v(z)dy+i(u(z)dy+v(z)dx).$$ Desde $f$ es holomorfa, las ecuaciones de Cauchy-Riemann implican que tanto la parte real como la imaginaria de la $1$ -forma están cerradas. Por el teorema de Stokes, la integral de una forma cerrada en una frontera desaparece. El teorema es el siguiente.