Número de condición - prueba

Question

Tengo un problema con el que he estado luchando durante un tiempo. Probablemente no sea tan difícil, pero parece que estoy atascado así que... aquí estamos.

Sea A una matriz triangular inferior o superior invertible (lo que significa que $a_{ii} \neq 0$ ). Demostrar que $k_\infty (A) \geq \left\| A \right\|_\infty \frac{1}{\min_i \left|{a_{ii}}\right|}$ .

Lo que me dan es la desigualdad de Kahan, diciendo que $$ \frac{1}{k(A)} = \inf \left\{ \frac{\left\|A - B\right\|}{\left\|A\right\|}, \quad \text{where B is non invertible}\right\} $$

Lo que se me ha ocurrido se reduce a lo siguiente. Sea A triangular inferior, sin pérdida de generalidad. Como sabemos, el número de condición viene dado por $k(A) = \left\|A\right\| \left\|A^{-1}\right\|$ Por lo tanto: $$ \frac{1}{k(A)} = \frac{1}{\left\|A\right\| \left\|A^{-1}\right\|} \leq \frac{\left\|A - B\right\|}{\left\|A\right\|} \Leftrightarrow \frac{1}{\left\|A^{-1}\right\|} \leq \left\|A - B\right\| $$ donde B es no invertible.

Volviendo a la pregunta, podemos ver fácilmente que pedimos demostrar $$ k(A) = \left\|A\right\| \left\|A^{-1}\right\| \geq \left\| A \right\| \frac{1}{\min_i \left|{a_{ii}}\right|} \Leftrightarrow \left\|A^{-1}\right\| \geq \frac{1}{\min_i \left|{a_{ii}}\right|} \Leftrightarrow \frac{1}{\left\|A^{-1}\right\|} \leq \min_i \left|{a_{ii}}\right| $$

Así que, si soy capaz de demostrar que $\left\|A - B \right| \leq \min_i \left| a_{ij} \right|$ habré demostrado efectivamente la desigualdad solicitada.

Como siguientes pasos, he probado a analizar la norma: en mi caso, se pide la norma máxima, y se cumple que $$ \left\| A \right\|_\infty = \max_i \sum_{j=1}^{n} \left|a_{ij}\right| = \max_i \sum_{j=1}^{i} \left|a_{ij}\right| = \max_i \left(\sum_{j=1}^{i-1} \left|a_{ij}\right| + \left| a_{ii} \right| \right) $$

porque la matriz es triangular inferior como suponíamos.

Lo que estoy pensando es en elegir una matriz B específica no invertible que se adapte a mis necesidades, como, por ejemplo: $$ = \begin{cases} 0, \quad i \leq j \\ a_{ij}, \quad i > j \end{cases} $$

De este modo, la norma máxima de $A-B$ se reduciría más o menos al elemento máximo $\left|a_{ij}\right|$ pero necesito el mínimo, no el máximo.

Cualquier idea o pista será muy apreciada, ¡y gracias de antemano! :)

Answer 1

Es fácil. Para cualquier matriz $||B||_{\infty}=\max_i\sum_j|b_{i,j}|\geq \max_i|b_{i,i}|$ . Aquí $B=A^{-1}$ y $b_{i,i}=1/a_{i,i}$ Entonces $||A^{-1}||_{\infty}\geq 1/\min(|a_{i,i}|)$ .