Encontrar ejemplos de conjuntos que satisfagan las condiciones

Question

Dar ejemplos de conjuntos tales que:

i) $A\in B$ y $A\subseteq B$

Mi respuesta : $B=\mathcal{P(A)}=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}$  y $A=\{1,2\}$ entonces $A\in B$ y $A\subseteq B$

ii) $|(C\cup D)\setminus(C\cap D)|=1$

Mi respuesta es: $C=\{1,2,3\}$ , $D=\{2,3\}$ entonces $C\cup D=\{1,2,3\}$ y $C\cap D=\{2,3\}$ así que $(C\cup D)\setminus(C\cap D)=\{1\}$ y $|(C\cup D)\setminus(C\cap D)|=1$

¿Podemos encontrar conjuntos A y B tales que $A\in B$ y $B\subseteq A$ ? Mi respuesta es no.

¿Son correctas mis respuestas?

Answer 1

(i) Esto no funciona del todo, por desgracia, porque $A\nsubseteq B$ es decir, $\{1,2\}\nsubseteq\{\varnothing,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}$ . Con el fin de $A$ sea un subconjunto de $B$ cada elemento de $A$ debe ser un elemento de $B$ . Los elementos de $A$ son $1$ y $2$ y ni de ellos es un elemento de $B$ . Es cierto que $\{1\}\in B$ y $\{2\}\in B$ pero eso es muy diferente a tener $1\in B$ y $2\in B$ . Pruebe la misma idea con $A=\varnothing$ .

(ii) Esto está bien.

(iii) Su respuesta es correcta: si $A\in B\subseteq A$ entonces $A\in A$ , lo que queda descartado por el axioma de regularidad (también llamado fundamento).

Answer 2

Su respuesta es incorrecta. Porque $1,2\in A$ pero $1,2\notin B$ . Su segunda respuesta es correcta.

A la última pregunta, la respuesta es de nuevo correcta (suponiendo que $\sf ZF$ ), porque $A\in B$ y $B\subseteq A$ implicaría que tenemos $A\in A$ , lo cual es imposible debido al axioma de regularidad.

Para corregir la primera respuesta, considere el conjunto vacío.