Realmente no sé cómo hacer esto.
Dejemos que $X$ tienen una distribución uniforme en $(0,2)$ y que $Y$ ser independiente de $X$ con una distribución uniforme sobre $(0,3)$ . Determine la función de distribución acumulativa de $S=X+Y$ .
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Math1000
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La densidad de $S$ viene dada por la convolución de las densidades de $X$ y $Y$ : $$f_S(s) = \int_{\mathbb R}f_X(s-y)f_Y(y)\ \mathsf dy. $$ Ahora $$ f_X(s-y) = \begin{cases} \frac12,& 0\leqslant s-y\leqslant2\\ 0,&\text{otherwise} \end{cases} $$ y $$ f_Y(y) = \begin{cases} \frac13,& 0\leqslant y\leqslant3\\ 0,&\text{otherwise.} \end{cases} $$ Así que el integrando es $\frac16$ cuando $s-2\leqslant y\leqslant s$ y $0\leqslant y\leqslant3$ y cero en caso contrario. Hay tres casos (un dibujo ayuda a determinar esto); cuando $0\leqslant s<2$ entonces $$f_S(s)=\int_0^s\frac16\mathsf dy = \frac16s. $$ Cuando $2\leqslant s< 3$ entonces $$f_S(s)=\int_{s-2}^s\frac16\ \mathsf dy = \frac16(s-(s-2))= \frac13. $$ Cuando $3\leqslant s\leqslant 5$ entonces $$f_S(s)=\int_{s-2}^3\frac16\ \mathsf dy = \frac16(3 - (s-2)) = \frac56 - \frac16s. $$ Por lo tanto, la densidad de $S$ viene dada por $$ f_S(s) = \begin{cases} \frac16s,& 0\leqslant s<2\\ \frac13,& 2\leqslant s<3\\ \frac56-\frac16s,& 3\leqslant s<5\\ 0,&\text{otherwise.} \end{cases} $$ La función de distribución de $S$ se obtiene integrando la densidad, es decir $$F_S(s)=\mathbb P(S\leqslant s)=\int_{-\infty}^s f_S(t)\ \mathsf dt. $$
pete
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Si $F$ denota la FCD de $S$ entonces está claro que $F(s)=1$ si $s\geq 5$ y $F(s)=0$ si $s\leq0$ .
Ahora dejemos que $s\in(0,5)$ . Prescribir la función $g_s$ en $\mathbb R$ por $\langle x,y\rangle\mapsto1$ si $x+y\leq s$ y $\langle x,y\rangle\mapsto0$ de lo contrario.
$$F(s)=P(X+Y\leq s)=\int\int f_X(x)f_Y(y)g_s(x,y)dxdy=\frac16\int_0^2\int_0^3g_s(x,y)dydx$$ Aquí $f_X$ y $f_Y$ denotan la PDF de $X$ resp. $Y$ .
Encontrando $\int_0^2\int_0^3g_s(x,y)dydx$ viene a ser lo mismo que encontrar el área del conjunto: $$\{\langle x,y\rangle\in(0,2)\times(0,3)\mid x+y\leq s\}$$
