¿Cuáles son las condiciones, para $n$ matrices $A_1$ y $A_2$ ... $A_n$ etc., de manera que sus productos Hadamard y Matriz son idénticos?

Question

¿Cuál es la posible familia de matrices $A_1$ , ... , $A_n$ tal que sus productos Hadamard (elementales) y productos matriciales son equivalentes, y es válido como $n$ $\rightarrow$ $\infty$ ?

Es decir:

$A_1\odot A_2\cdots\odot A_{n-1}\odot A_n = A_1A_2\cdots A_{n-1}A_n$

Me doy cuenta de que esto es cierto para las matrices diagonales, pero me preguntaba cuál es el conjunto de matrices en las que esto se cumple. Gracias

Answer 1

Lo hice por $2\times 2$ matrices, ya hay muchas posibilidades.

$A=\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}\quad B=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}\quad$ caso trivial $B=0$

$A=\begin{pmatrix}a&0\\b&d\end{pmatrix}\quad B=\begin{pmatrix}0&0\\0&v\end{pmatrix}\quad$ caso triangular

$A=\begin{pmatrix}\frac cu(u-v)&c\\0&d\end{pmatrix}\quad B=\begin{pmatrix}s&u\\0&v\end{pmatrix}$

$A=\begin{pmatrix}a&0\\0&d\end{pmatrix}\quad B=\begin{pmatrix}s&0\\0&v\end{pmatrix}\quad$ caso diagonal

$A=\begin{pmatrix}a&c\\0&d\end{pmatrix}\quad B=\begin{pmatrix}s&0\\0&0\end{pmatrix}\quad$ caso triangular

$A=\begin{pmatrix}a&0\\b&\frac bt(t-s)\end{pmatrix}\quad B=\begin{pmatrix}s&0\\t&v\end{pmatrix}$

$A=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}\quad B=\begin{pmatrix}s&u\\t&v\end{pmatrix}\quad$ caso trivial $A=0$

Hay $2$ casos no anoté ya que creo que esto probablemente no se extienda a dimensiones más altas ni a matrices múltiples, pero es posible que quieras echar un vistazo al caso triangular para dimensiones más altas.

---

Editar:

Aquí es para $3\times 3$ matrices (dado el tamaño, me veo obligado a hacer un enlace para que desaparezca después de algún tiempo lo siento...).

Parece que esto no se extiende bien a una dimensión mayor, básicamente sólo $1$ fila o $1$ matrices de columnas y cero en otros lugares parece comportarse correctamente.

https://www.docdroid.net/bQn19yo/toto-pdf

Por lo tanto, sospecho que para las matrices múltiples, acabarás con todos los elementos no diagonales del producto obligados a ser ceros, y que el caso diagonal será el único relevante.