Esta es una pregunta algo vaga; no sé hasta qué punto es "suave", e incluso si tiene sentido.
[Edición: a la luz de los comentarios, podemos plantear mi pregunta de manera formalmente precisa, es decir: "¿Es la categoría de homotopía de los espacios topológicos una categoría concreta (en el sentido, digamos, de Kurosh y Freyd)?" . Puede que aún quieras leer lo que sigue, para motivarte un poco].
Históricamente, apostaría a que la gente empezó a mirar espacios métricos concretos $(X,d)$ antes de explorar la utilidad de la abstracción dada por los espacios topológicos generales $(X,\tau)$ ( $\tau$ es una topología). La idea heurística que recoge el concepto de espacio topológico es dotar a un conjunto $X$ con una "geometría" que olvida la rigidez de una hipotética estructura métrica $(X,d)$ aunque conservando los aspectos "cualitativos" de la geometría dados por la métrica.
Por supuesto, hay espacios topológicos no metrizables, pero vamos a ceñirnos a los metrizables por el momento. Creo que debería ser posible ver un espacio topológico $(X,\tau)$ como una clase de equivalencia de espacios métricos: $(X,[d])$ , donde $[d]$ es la clase de todas las métricas sobre el conjunto $X$ que dan lugar a la misma topología. Así, un $(X,\tau)$ sólo tiene varios modelos "rígidos" $(X,d)$ y un morfismo de espacios topológicos $f:(X,\tau) \rightarrow (Y,\tau')$ viene dado por tomar cualquier mapa $(X,d) \rightarrow (Y,d^{'})$ de "representantes" que es continua según la definición de "bola métrica". [¡¡Por favor, corrijan la imagen anterior si es imprecisa o incluso simplemente errónea!!]
La forma (quizá ingenua) en que siempre he pensado en la homotopía es que es un "paso más" para hacer la geometría más "cualitativa" y menos rígida: se pueden "colapsar apéndices dimensionales positivos" de un espacio en la medida en que sean contractibles, y así sucesivamente. Para formalizar esto, se consideran los "tipos de homotopía", que son clases de equivalencia $[(X,\tau)]$ de espacios topológicos, donde $(X,\tau) \sim (X',\tau')$ si existe una equivalencia de homotopía $\varphi:(X,\tau) \rightarrow (X',\tau')$ . ¿Qué son los morfismos en la categoría de homotopía? Sólo morfismos $f$ entre los "representantes", pero ahora hay que considerarlos también hasta la homotopía, es decir, se toma $[f]$ donde $f \sim f'$ si hay una homotopía $\alpha: f \rightarrow f'$ .
Es feo pensar en los espacios topológicos como $[(X,d)]$ (o, mejor dicho, $(X,[d])$ ): es mejor utilizar la abstracción más sencilla y expresiva $(X,\tau)$ .
Así que, la pregunta es:
- ¿Hay algún tipo de "homotopología" $h$ (lo que sea) que uno puede poner en los platós $S$ de modo que cada tipo de homotopía $[(X,\tau)]$ está completamente descrito por un "espacio homotópico" (sea lo que sea) $(S,h)$ y clases de homotopía de morfismos $[f]$ corresponden a " $h$ -mapas teóricos de conjuntos "compatibles" (sea cual sea su significado) $F:S \rightarrow S'$ ?
(Ni siquiera me atrevo a preguntar por la existencia de "espacios homotópicos no topologables" porque la pregunta anterior ya es demasiado vaga).
