Supongo que " $o(f,x)$ " significa la oscilación de $f$ alrededor de $x$ . Parece que entiendes el procedimiento general de la prueba, pero tu presentación podría mejorarse.
Supongamos por contradicción que existe un $N \in \mathbb{N}$ tal que para todo $n \geq N$ , $\{x: o(f,x) > \frac{1}{N}\}$ es infinito.
No es necesario el "para todos $n\geq N$ ". También es una buena idea empezar explicando lo que estás haciendo, algo así como "Seguiremos la pista dada en la pregunta. Supongamos que[...]"
Escoge lo que quieras $x_1, ..., x_k \in [a,b]$ donde $k$ satisface $k > N \cdot (f(b)-f(a))$ . Entonces, $\sum_{i=1}^k o(f, x_i) > \sum_{i=1}^k \frac{1}{N} = \frac{k}{N} > \frac{N \cdot (f(b)-f(a))}{N} = f(b) - f(a)$ . Pero esto contradice el hecho dado en la pista, por lo que nuestra suposición es falsa y el conjunto debe ser finito para cualquier $n \in \mathbb{N}$ .
Está bien, pero hay que evitar referirse sólo al "conjunto". Dale un nombre. ¿Por qué no empezar toda la prueba con "Dado un número entero positivo $n$ , defina $O_n=\left\{x:o(f,x)>\frac{1}{n}\right\}$ "?
Desde el conjunto es finito para cada $n \in \mathbb{N}$ y la condición del conjunto equivale a $f$ siendo discontinua en el punto $x$ Así que el conjunto tiene medida $0$ .
Sustituir cada instancia de "el conjunto" por el nombre que le has dado hace que la presentación sea más clara. También hay una pequeña parte que no es correcta:
la condición del conjunto es equivalente a $f$ siendo discontinua en el punto $x$ .
Lo que realmente quieres decir es lo siguiente:
Recordemos que la función $f$ es discontinua en un punto $x$ si y sólo si existe algún $n$ tal que $o(f,x)>\frac{1}{n}$ . Esto significa que el conjunto de puntos de discontinuidad de $f$ es la unión $\bigcup_{n=1}^\infty O_n$ .
Hay que tener cuidado con la diferencia: Por la forma en que lo estás expresando, parece que $O_n$ es el conjunto de puntos de discontinuidad de $f$ Lo cual no es cierto.
Desde la unión de medida $0$ conjuntos es también medida $0$ por lo que el conjunto donde $f$ es discontinuo en $x$ tiene que tener medida $0$ .
No cualquier unión, sino las uniones contables.
En general parece que se entiende la idea de la prueba, pero debería ser más cuidadoso en sus explicaciones. No intentes escribir las cosas de forma concisa si eso empeora la explicación, especialmente si permite una interpretación errónea (y probablemente perderías puntuación por ello). Suele ser preferible nombrar los objetos. Un corrector cuidadoso se fijaría en
Así que aquí está mi versión mejorada sugerida (con algunos cambios adicionales):
Seguiremos la pista dada en la pregunta.
Dado un número entero positivo $n$ , defina $O_n=\left\{x:o(f,x)>\frac{1}{n}\right\}$ . Supongamos por contradicción que existe un $N \in \mathbb{N}$ tal que $O_N$ es infinito.
Escoge lo que quieras $x_1, ..., x_k \in [a,b]$ donde $k$ satisface $k > N \cdot (f(b)-f(a))$ . Entonces, $\sum_{i=1}^k o(f, x_i) > \sum_{i=1}^k \frac{1}{N} = \frac{k}{N} > \frac{N \cdot (f(b)-f(a))}{N} = f(b) - f(a)$ . Pero esto contradice el hecho dado en la pista, por lo que nuestra suposición es falsa y $O_N$ debe ser finito para cualquier $N \in \mathbb{N}$ .
Desde $O_n$ es finito para cada $n \in \mathbb{N}$ , entonces tiene medida $0$ .
Recordemos que la función $f$ es discontinua en un punto $x$ si y sólo si existe algún $n$ tal que $o(f,x)>\frac{1}{n}$ . Esto significa que el conjunto de puntos de discontinuidad de $f$ es la unión $\bigcup_{n=1}^\infty O_n$ . Dado que una unión contable de medida $0$ conjuntos también tiene medida $0$ el conjunto de puntos de discontinuidad de $f$ tiene medir $0$ .
