Sustitución en la integración sobre el registro

Question

Una pregunta sobre mi libro: $$\int{\frac{1}{x(\log{x})^n}dx}$$ donde n es un número entero.

Lo que hice:
Sea u= $\frac{1}{\log{x}}$ entonces $\frac{du}{dx}=x, dx=\frac{du}{x}.$

Ahora la integral se convierte en $$\int{\frac{1}{xu^n}dx}=\int{\frac{1}{xu^n}\times {\frac{du}{x}}}$$

No sé qué hacer ahora. ¿Debo cambiar otra u? Nota: si es posible, utiliza la sustitución para resolver el problema.

Answer 1

Llame a $u=\log x$ entonces $du = dx/x$ y su integral se convierte en

$$ \int\frac{dx}{x\log^n x} = \int\frac{du}{u^n} = \cdots $$

Answer 2

Considere la sustitución $u=\log x$ y así $du=\frac{1}{x}dx$ . Por lo tanto, $$ \int \frac{1}{x(\log x)^n}\,dx=\int\frac{(\log x)^{-n}}{x}\,dx=\int u^{-n}\,du. $$ Entonces, para $n\geq 2$ obtenemos $$ \int u^{-n}\,du=\frac{u^{1-n}}{1-n}=\frac{(\log x)^{1-n}}{1-n}. $$ Para $n=1$ obtenemos $$ \int u^{-1}\,du=\log u=\log(\log x). $$