Resolver $\sin 3\theta=1/2$ en el intervalo $[0,2\pi]$ . No entiendo de dónde vienen algunas soluciones.

Question

Estoy aprendiendo precálculo, y entiendo cómo obtener las dos primeras soluciones, pero no entiendo de dónde salieron las cuatro últimas:

Todos los valores de $\theta$ en el intervalo $[0,2\pi]$ que satisfagan $\sin 3\theta=1/2$ son $$\theta = \frac{\pi}{18}, \frac{5\pi}{18}, \frac{13\pi}{18}, \frac{17\pi}{18}, \frac{25\pi}{18}, \frac{29\pi}{18}$$

Answer 1

Escriba $3\theta$ : $\frac{\pi}{6}$ , $\frac{5\pi}{6}$ , $\frac{13\pi}{6}$ , $\frac{17\pi}{6}$ , $\frac{25\pi}{6}$ , $\frac{29\pi}{6}$ . Ahora resta $\frac{\pi}{6}$ de $\frac{13\pi}{6}$ y se obtiene $\frac{12\pi}{6}=2\pi$ . La función seno es periódica, con este período. Se obtienen todas las demás sumando $2\pi$ o $4\pi$ a las primeras soluciones.

Tal vez una forma más obvia de pensar en el problema es decir $\alpha=3\theta$ y encontrar todas las soluciones de $\sin\alpha=\frac 12$ en el intervalo $[0,6\pi]$ .

Answer 2

$$\theta \in \left[0, 2\pi\right]\implies 3\theta \in \left[0, 6\pi\right]$$ $$\sin 3\theta = \dfrac{1}{2}$$ $$3\theta = \frac{\pi}{6}+2n\pi, \dfrac{5\pi}{6}+2n\pi, n \in \Bbb Z$$ Pero $3\theta \in \left[0, 6\pi\right]$ Así que $$3\theta = \dfrac{\pi}{6},\dfrac{5\pi}{6},\dfrac{13\pi}{6},\dfrac{17\pi}{6},\dfrac{25\pi}{6},\dfrac{29\pi}{6}$$ Por lo tanto, $$\theta = \dfrac{\pi}{18}, \dfrac{5\pi}{18}, \dfrac{13\pi}{18},\dfrac{17\pi}{18},\dfrac{25\pi}{18},\dfrac{29\pi}{18}$$

Answer 3

Considere el siguiente diagrama.

¿Cuándo $\sin\theta = \sin\varphi$ ?

El seno de un ángulo dirigido es el $y$ -coordenada del punto donde su lado terminal interseca el círculo unitario. Claramente, una solución es cuando $\theta = \varphi$ . Por simetría, $\sin\theta = \sin(\pi - \theta)$ Así que $\varphi = \pi - \theta$ es otra solución. Además, cualquier ángulo coterminal con $\theta$ o $\pi - \theta$ también tendrá el mismo seno. Como los ángulos coterminales difieren en múltiplos enteros de $2\pi$ , $\sin\theta = \sin\varphi$ si $$\varphi = \theta + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$$ o $$\varphi = \pi - \theta + 2m\pi, m \in \mathbb{Z}$$

Resuelve la ecuación $\sin(3\theta) = \dfrac{1}{2}$ en el intervalo $[0, 2\pi]$ .

Una solución particular de la ecuación $$\sin\alpha = \frac{1}{2}$$ es $$\alpha = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$$ Sustituyendo $3\theta$ para $\alpha$ rinde $$\sin(3\theta) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$$ Así, tenemos la solución general $$\begin{align*} 3\theta & = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z} & 3\theta & = \pi - \frac{\pi}{6} + 2m\pi, m \in \mathbb{Z}\\ \theta & = \frac{\pi}{18} + \frac{2k\pi}{3}, k \in \mathbb{Z} & 3\theta & = \frac{5\pi}{6} + 2m\pi, m \in \mathbb{Z}\\ & & \theta & = \frac{5\pi}{18} + \frac{2m\pi}{3}, m \in \mathbb{Z} \end{align*}$$ Dado que buscamos soluciones en el intervalo $[0, 2\pi]$ , $k = 0, 1, 2$ y $m = 0, 1, 2$ , lo que da como resultado $$\begin{align*} \theta & = \frac{\pi}{18}, \frac{13\pi}{18}, \frac{25\pi}{18} & \theta & = \frac{5\pi}{18}, \frac{17\pi}{18}, \frac{29\pi}{18} \end{align*}$$

Answer 4

$$3 \theta = 30^{\circ}, (180-30)^{\circ}$$ a la que se añaden múltiplos de $360^{\circ}$

Eso es ahora

$$\theta = 10^{\circ}, (60-10)^{\circ}$$ a la que se añaden múltiplos de $120^{\circ}.$