Existe tal cosa como "cuadrática de la independencia" (y mayores generalizaciones de independencia lineal)?

Question

La noción de independencia lineal es muy bien conocido y bien entendido.

Sin embargo, hay una manera de generalizar la definición de otros tipos de la independencia-como tal vez "cuadrática de la independencia", "polinomio de la independencia", "armónico de la independencia", etc.?

(Lo siento si lineales en álgebra no es una buena etiqueta, yo no podía pensar en una mejor uno.)

Answer 1

Hay "algebraica de la independencia" - si hay un no-cero del polinomio $f$ $n$ variables con coeficientes en el campo de $K$, de tal manera que $$f(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)=0\ ,$$ a continuación, $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ son algebraicamente dependiente de $K$; si no hay tal polinomio, a continuación, que son algebraicamente independientes sobre $K$.

Por ejemplo, $\pi$ $\sqrt{2\pi}$ son algebraicamente dependiente de $\Bbb Q$ porque si $f(z_1,z_2)=2z_1-z_2^2$$f(\pi,\sqrt{2\pi})=0$.

Parece totalmente plausible que $e$ $\pi$ son algebraicamente independientes, pero que yo sepa este es todavía un problema sin resolver - ver aquí.

Para un pequeño número de ejemplos y general teoremas sobre algebraicamente independiente números de buscar aquí.

También hay un concepto general de la dependencia de relaciones, que incluye la dependencia lineal y algebraica de la dependencia como casos especiales. No he buscado en internet, pero usted lo puede encontrar en N. Jacobson, Álgebra Básica, vol.II, sección 3.6.

Answer 2

Yo diría que $x$ $y$ son cuadráticamente dependiente si existen constantes $a,$ $b,$ $\ldots,$ $f$ no todos iguales a $0$ tal que $$ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0$$

Aquí, $x$ $y$ pueden ser números reales (o complejos), o el valor real de las funciones (o complejo de funciones con valores), o en otros contextos donde esto tiene sentido.

De hecho, he utilizado esta idea en las clases (he utilizado la frase cuadráticamente relacionados) como un intuitivo explicación de por qué composiciones como $\sin(\arccos x)$ terminan siendo relativamente simples funciones en el sentido de que sólo los cuadrados y raíces cuadradas están involucrados, y no funciones trascendentes. La explicación es que cada función trigonométrica es cuadráticamente relacionados a cada función trigonométrica, así, mientras que la función seno no enteramente de la onu-hacer el arco-coseno función, se trata de "cuadráticamente cerrar" para hacerlo, dado que el seno y coseno son funciones cuadráticamente relacionados.

Answer 3

Si he entendido correctamente, la pregunta es:

Es "independencia lineal" un caso especial de una noción más general de la independencia?

Sí, lo es.

Definición. Deje $\mathbf{C}$ denotar una concreta categoría cuyos olvidadizo functor $U_\mathbf{C} : \mathbf{C} \rightarrow \mathbf{Set}$ ha dejado-adjoint $F_\mathbf{C} : \mathbf{Set} \rightarrow \mathbf{C}$. Considere un objeto $X$ y la función $f : I \rightarrow U_\mathbf{C}(X)$ a partir de algún conjunto de índices $I$. A continuación, $f$ es independiente, generando básica/ iff la correspondiente morfismos $F_\mathbf{C}(I) \rightarrow X$ es inyectiva/surjective/bijective.

Ejemplos:

• Si $\mathbf{C}$ es la categoría de $R$-módulos para algunos conmutativa anillo de $R$, $F_\mathbf{C}(I)$ es igual a $R^I_{\mathrm{fin}}$ y estos términos se refieren a lo que se suele decir. Por ejemplo, $f : I \rightarrow U_\mathbf{C}(X)$ es independiente en el anterior sentido, el fib es linealmente independiente en el sentido habitual iff la correspondiente lineal transformar $R^I_{\mathrm{fin}} \rightarrow X$ es inyectiva.
• Considere la posibilidad de una extensión de campo $E/F$. Funciones en $E$ a partir de algún conjunto de índices son algebraicamente independientes sobre $F$ en el sentido habitual iff son independientes en el anterior sentido al $E$ es visto como un conmutativa $F$-álgebra.
• El No-vacío es subconjunto de un grupo finito es nunca independiente, ya que todos los no-trivial gratis los grupos son infinitas.