Estoy tratando de encontrar el comportamiento asintótico de la segunda derivada de la Polinomio de Laguerre (más precisamente, la función analítica asociada), $\frac{\partial}{\partial n^2}L_{n}(z)$ , como $z\to -\infty$ , en $n = -1$ . Una fórmula explícita válida para al menos $z<0$ sería genial, pero es el comportamiento asintótico lo que me preocupa especialmente.
He conseguido reducirlo a
$$\frac{\partial}{\partial n^2}L_{n}(z)\biggr|_{n=-1} = \sum_{k=1}^{\infty} \biggl[-\frac{\pi^2}{6} + \psi'(k + 1) + H_k^2\biggr] \frac{z^k}{k!}$$
donde $\psi'(z) = \frac{\partial^2}{\partial z^2}\ln\Gamma(z)$ es la función poligama y $H_k = \sum_{i=1}^{k} \frac{1}{k}$ es un número armónico.
Es evidente que sumando el primer término de los tres se obtiene $-\frac{\pi^2}{6}e^z$ . Creo que esto es válido, dado que la suma de ese término por sí misma es convergente y finita para todo finito $z$ . (¿verdad?)
¿Hay fórmulas conocidas para los otros dos términos de la derecha? Alguna forma de simplificarlos que no implique una suma infinita, o al menos se pueda consultar su comportamiento asintótico como $z\to -\infty$ ? He encontrado fórmulas para $\sum H_k^2/k^2$ y $\sum H_k^2/(k+1)^2$ así como $\sum H_k z^k/k!$ ( $H_k$ no al cuadrado), pero no sé cómo aplicar ninguno de ellos a mi problema.
Si alguien tiene una forma totalmente diferente de ver el gran $z$ comportamiento de la función, también me interesaría.
