Dejemos que $A,B,C$ sean tres puntos no colineales en un plano con coordenadas racionales. Sea $r$ sea el circunradio del triángulo $ABC$ . Un argumento sencillo (véase aquí ) muestra que $r$ tiene grado $2^p$ en ${\mathbb Q}$ para algunos $p$ entre $0$ y $6$ .
Para cada uno de estos $p$ ¿existe una buena descripción puramente geométrica de cuándo $r$ tiene un grado exacto $2^p$ ?
$$R = \frac {abc}{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}} = \frac {abc} {\sqrt{2a^2b^2 + 2b^2 c^2 + 2c^2 a^2 - a^4 -b^4 - c^4}} = \frac {abc}{4S},$$
Desde $a^2, b^2, c^2 \in \mathbb{Q}$ por la fórmula de la distancia, se deduce que $R^2 \in \mathbb{Q}$ . Por lo tanto, el grado es 1 o 2.
Por el teorema de Pick, el área del triángulo es racional (al escalar a una retícula). Por lo tanto, el grado de la extensión del campo es 2 si y sólo si $abc$ no es un cuadrado perfecto.
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