La extensión con elemento algebraico es finita

Question

No entiendo cómo probar este teorema:

Dejemos que $E/K$ sea una extensión de campo. Si $\alpha$ es algebraico sobre K, entonces $K(\alpha ):K<\infty$ .

Sé que podemos asumir que existe un polinomio no trivial $f(X)$ con $f(\alpha)=0$ . Todavía no hemos tenido el polinomio mínimo en clase. Agradecería mucho su ayuda.

Saludos, KingDingeling

Answer 1

La relación $$\alpha^n + \sum_{i=0}^{n-1} a_i \alpha^i = 0$$ muestra que se pueden escribir todas las potencias de $\alpha$ como coinaciones lineales de $\{ \alpha^i\}_{0 \le i \le n-1}$ .

Prueba por inducción.

CASO $k=0, \dots , n-1$ es evidente. $\alpha^k$ es una combinación lineal de $\{ \alpha^i\}_{0 \le i \le n-1}$ .

CASO $k=n$ . Sigue de $\alpha^n =- \sum_{i=0}^{n-1} a_i \alpha^i $

PASO INDUCTIVO. Para $k \ge n+1$ tienes $$\alpha^k = \alpha \cdot \alpha^{k-1}$$ desde $\alpha^{k-1}$ es una combinación lineal de $\{ \alpha^i\}_{0 \le i \le n-1}$ puede escribir $$\alpha^{k-1} = \sum_{i=0}^{n-1} b_i \alpha^i$$ Así, $$\alpha^k = \alpha \cdot \alpha^{k-1} = \alpha \cdot \sum_{i=0}^{n-1} b_i \alpha^i = \sum_{i=0}^{n-1} b_i \alpha^{i+1} = \sum_{i=0}^{n-2} b_i \alpha^{i+1} + b_{n-1} \alpha^n = \sum_{i=0}^{n-2} b_i \alpha^{i+1} - b_{n-1} \sum_{i=0}^{n-1} a_i \alpha^i$$ es una combinación lineal de $\{ \alpha^i\}_{0 \le i \le n-1}$ .

Con esto concluye la prueba.

QUÉ SIGNIFICA ESTO: Desde $$K( \alpha) = \{ \sum_j a_j \alpha^j : a_j \in K \}$$ muestra que $K( \alpha)$ es generado por $\{ \alpha^i\}_{0 \le i \le n-1}$ es decir, está generada finitamente.