¿Cuántas permutaciones distintas de la cadena "NADAMADRID" contienen la palabra DAM?

Question

¿Cuántas permutaciones distintas de la cadena "NADAMADRID" contienen la palabra DAM?

Normalmente, según la regla de Mississippi, se tomaría el número total de caracteres factorial, y luego se dividiría por el producto de todos los caracteres que se repiten factorialmente. En este caso, sin embargo, preguntan cuántas veces aparecerá una determinada palabra en las permutaciones de una cadena mayor. Estaba confundido sobre cómo hacer este problema, y cómo contaría estas posibilidades.

Answer 1

Supongo que no distingue entre las mismas letras, por ejemplo $D_1$ y $D_2$ son iguales, es decir, tienen el mismo color. En este caso, se tiene $10-3+1=8$ posición para DAM. Para cada uno de estos puestos tiene $\binom{7}{2}\binom{5}{2}\binom{3}{1}\binom{2}{1}$ asignaciones para las cartas restantes.

Si se distingue entre letras como en el caso anterior, también hay que tener en cuenta la selección de "D" y "A" para DAM, por ejemplo, la D puede seleccionarse en $\binom{3}{1}$ formas, etc.

Answer 2

Si descartamos la palabra $DAM$ temporalmente, tenemos $7$ letras para ordenar, de las cuales dos letras de dos tipos son similares. La ordenación de las mismas se puede hacer en $\frac{7!}{(2!)^2}$ formas. Una vez hecho esto, tenemos $8$ espacios para la palabra $DAM$ para ser insertado en , por lo que en total se obtiene $$\frac{7!}{(2!)^2} \times 8 = 10080$$ formas.

Answer 3

Sólo trata $DAM$ como otra letra única. Entonces tienes 8 letras en total, con dos $A$ y dos $D$ (después de quitar los utilizados en $DAM$ ). Por lo tanto, el número total de arreglos es $$\frac{8!}{2!2!}$$

Tenga en cuenta que esto se complicaría si hubiera más de un $M$ ya que entonces habría que tener en cuenta los casos con dos $DAM$ por inclusión-exclusión.

Answer 4

La cadena "NADAMADRID" contienen exactamente el total 10 personajes. Ahora considere DAM como un solo carácter (Digamos DAM = X), por lo que la nueva cadena de total de 8 caracteres será XNAADDRI .

Aquí lo vemos,

1. X se produce una vez
2. N se produce una vez
3. A ocurre dos veces(2)
4. D ocurre dos veces(2)
5. R se produce una vez 6. I se produce una vez

Por lo tanto, las permutaciones de XNAADDRI (es decir, "NADAMADRID" tiene la palabra DAM ) con repetición de A y D es 8! /(2! * 2!).