Igualación de los términos de aceleración para una superficie paramétrica

Question

Supongamos que tenemos una superficie 2D lisa incrustada en el espacio euclidiano 3D definida paramétricamente por, $$ r : \mathbb{R^2} \to \mathbb{R}^3\ ,\ \ \ r(x,y) := \begin{bmatrix} \bar{x}(x,y) \\ \bar{y}(x,y) \\ \bar{z}(x,y) \end{bmatrix} $$

También tenemos su jacobiano y sus derivadas parciales superiores: $$ J(x,y) := \begin{bmatrix} \frac{\partial r}{\partial x}(x,y) & \frac{\partial r}{\partial y}(x,y) \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{3 \times 2} $$

Consideremos una trayectoria 1D a través del espacio paramétrico: $$ q : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2\ ,\ \ \ q(t) := \begin{bmatrix} x(t) \\ y(t) \end{bmatrix} $$

Por la regla de la cadena (y la notación de los puntos) la velocidad ambiente es, \begin{align} \frac{dr}{dt} &= \frac{dr}{dq} \frac{dq}{dt}\\ \dot{r} &= J \dot{q} \end{align}

Por la regla del producto la aceleración ambiental es, $$ \ddot{r} = J \ddot{q} + \dot{J} \dot{q} $$

Una expresión similar de dos términos para la aceleración puede derivarse expresando la velocidad como un producto de su magnitud $v := ||\dot{r}||$ y la dirección $\hat{\tau} := \dot{r} / v$ . \begin{align} \dot{r} &= v\hat{\tau}\\ \implies\ \ddot{r} &= \dot{v}\hat{\tau} + v\dot{\hat{\tau}} \end{align}

Obviamente, podemos equiparar estos $\ddot{r}$ expansiones, pero me pregunto si los siguientes términos rojo/azul son individualmente equiparable: $$ \ddot{r} = \color{red}{J \ddot{q}} + \color{blue}{\dot{J} \dot{q}} = \color{red}{\dot{v}\hat{\tau}} + \color{blue}{v\dot{\hat{\tau}}} $$

El término $\color{red}{J \ddot{q}}$ está siempre en el plano tangente porque es una combinación lineal de vectores tangentes: $$ \color{red}{J \ddot{q}} = \ddot{x} \frac{\partial r}{\partial x} + \ddot{y} \frac{\partial r}{\partial y} $$

Lo mismo ocurre con $\color{red}{\dot{v}\hat{\tau}}$ ya que está en la dirección de la velocidad. Esto me inclina a escribir un par de igualdades más fuertes: \begin{gather} \color{red}{J \ddot{q} \overset{?}{=} \dot{v}\hat{\tau}} \tag{1}\\ \color{blue}{\dot{J} \dot{q} \overset{?}{=} v\dot{\hat{\tau}}} \tag{2} \end{gather}

Para demostrar realmente esto, creo que tendría que demostrar que $\color{blue}{\dot{J} \dot{q}}$ y $\color{blue}{v\dot{\hat{\tau}}}$ son ortogonales al plano tangente. Editar No importa, eso no es cierto, pero tampoco es necesario.

No he podido demostrarlo en general (aunque puede que me falte algún dato que me permita simplificar las cosas). ¿Qué conclusión debo sacar sobre las conjeturas (1) y (2)? Y si son falsas, ¿podría arrojar algo de luz sobre la geometría de la relación entre las dos diferentes $\ddot{r}$ ¿ampliaciones?

Gracias.

Answer 1

Las conjeturas son falsas. Para ver por qué, primero vamos a igualar nuestras expresiones para $\dot{r}$ . $$ \dot{r} = J\dot{q} = v\hat{\tau} $$

La no degeneración de las coordenadas superficiales impone que $\frac{\partial r}{\partial x}$ es linealmente independiente de $\frac{\partial r}{\partial y}$ . Por lo tanto, $J$ es de rango completo y admite un pseudoinverso de la izquierda $\ \tilde{J} := (J^\intercal J)^{-1} J^\intercal\ $ tal que $\ \tilde{J}J = I$ . $$ \dot{q} = v\tilde{J}\hat{\tau} $$

Tomar otro $t$ -derivada tenemos, $$ \ddot{q} = \dot{v}\tilde{J}\hat{\tau} + v\dot{\tilde{J}}\hat{\tau} + v\tilde{J}\dot{\hat{\tau}} $$

Simplifiquemos esto con la siguiente definición: \begin{gather} h := \tilde{J}\hat{\tau}\ \implies\ \dot{h} = \dot{\tilde{J}}\hat{\tau} + \tilde{J}\dot{\hat{\tau}}\\[4pt] \therefore\ \ddot{q} = \dot{v}\tilde{J}\hat{\tau} + v\dot{h} \end{gather}

En general, $J\tilde{J} \neq I$ . Sin embargo, considere que $\tilde{J}$ actúa para proyectar ortogonalmente los vectores del entorno en el plano tangente local. Por lo tanto, los vectores que ya viven en el plano tangente como $\hat{\tau}$ tienen la propiedad $J\tilde{J}\hat{\tau} = \hat{\tau}$ . (Este no es el caso de $\dot{\hat{\tau}}$ que puede tener un componente normal). Así, multiplicando a la izquierda nuestra última ecuación por $J$ se obtiene la ecuación roja corregida: $$ \color{red}{J\ddot{q} = \dot{v}\hat{\tau} + vJ\dot{h}} $$

Sustituyendo esto en la ecuación de aceleración original se obtiene la ecuación azul corregida: \begin{align} J\ddot{q} + \dot{J}\dot{q} &= \dot{v}\hat{\tau} + v\dot{\hat{\tau}}\\[4pt] \dot{v}\hat{\tau} + vJ\dot{h} + \dot{J}\dot{q} &= \dot{v}\hat{\tau} + v\dot{\hat{\tau}}\\[4pt] \color{blue}{\dot{J}\dot{q}} &\color{blue}{=} \color{blue}{v\dot{\hat{\tau}} - vJ\dot{h}}\\[4pt] \end{align}

Ya que en general $v \neq 0$ y $J \neq 0$ La cuestión de si las conjeturas originales eran ciertas es una cuestión de si $\dot{h} \overset{?}{=} 0$ . Los ejemplos pueden demostrar que esto es falso en general, pero se puede comprender ahora que hemos aislado la corrección.

Se puede interpretar geométricamente $h = \tilde{J}\hat{\tau} = \dot{q}/v$ como el vector de "rumbo" 2D con el que una hormiga en la superficie podría expresar su dirección de desplazamiento, todo ello en la base del plano tangente. Cada vez que la hormiga gira o los vectores base del plano tangente cambian de ángulo interior, $\dot{h}$ será distinto de cero y las conjeturas originales no se mantendrán. Estas ideas se ponen en práctica aquí .