¿Es el par motor un concepto tan fundamental como la fuerza?

Question

Solía pensar que el par y la fuerza eran igualmente "fundamentales". En otras palabras, mi opinión era que solemos utilizar las coordenadas cartesianas en muchos problemas comunes porque es un sistema cómodo, por lo que las fuerzas instantáneas que actúan en línea recta parecen "más fáciles" desde el punto de vista matemático, pero los pares requieren un "bagaje" adicional. Este bagaje incluye normalmente la enseñanza de que el par se define en términos de fuerza.

Pero si, por ejemplo, elegimos coordenadas polares para el problema, la situación sería al revés. Por lo tanto, sería arbitrario que eligiéramos definir las fuerzas en términos de pares.

Pero más tarde aprendí que el momento angular se conserva independientemente del momento lineal regular (recuerdo). Dadas las definiciones de fuerza y par como derivadas del momento, esto hace que parezca mucho menos seguro que uno deba definir el par en términos de fuerza o viceversa - da la impresión de que son más distintos de lo que parecía al principio.

Dicho esto, por lo que sé, gran parte de la física consiste en definir y describir las "fuerzas fundamentales", no los "pares fundamentales".

Entonces, ¿es arbitraria la elección de utilizar la fuerza o el par como base de las leyes y los problemas? ¿O hay una razón fundamental real para cuando se debe utilizar una u otra?

Answer 1

En mecánica no . El par es no una cantidad fundamental. Su único trabajo es describir donde en el espacio una fuerza actúa a través de (la línea de acción). El par motor sólo describe una fuerza a distancia. Dada una fuerza $\boldsymbol{F}$ y un par $\boldsymbol{\tau}$ se puede decir que la fuerza actúa a lo largo de una línea en el espacio con dirección definida por $\boldsymbol{F}$ pero la ubicación está definida por $\boldsymbol{\tau}$ como sigue $$ \boldsymbol{r} = \frac{ \boldsymbol{F} \times \boldsymbol{\tau} }{ \| \boldsymbol{F} \|^2 } $$

_{De hecho, se puede deslizar el vector de fuerza en cualquier lugar a lo largo de su línea y no cambiará el problema, por lo que el <span class="math-container">$\boldsymbol{r}$</span> calculado arriba resulta ser el punto de la recta más cercano al origen.}

Tal vez sea más fácil hablar primero del momento angular, ya que el par es la derivada temporal del momento angular, al igual que la fuerza es la derivada temporal del momento lineal.

Para una sola partícula con momento lineal $\boldsymbol{p} = m\boldsymbol{v}$ situado en algún instante en un punto $\boldsymbol{r}$ el momento angular es $$ \boldsymbol{L} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p}$$

Entonces, ¿dónde está la línea de impulso en el espacio? La línea de impulso se llama eje de percusión. Se encuentra en

$$ \boldsymbol{r} = \frac{ \boldsymbol{p} \times \boldsymbol{L} }{ \| \boldsymbol{p} \|^2 } = \frac{\boldsymbol{p} \times ( \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p})}{\| \boldsymbol{p} \|^2} = \frac{ \boldsymbol{r} (\boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{p}) - \boldsymbol{p} ( \boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{r}) }{\| \boldsymbol{p} \|^2} = \boldsymbol{r} \frac{ \| \boldsymbol{p} \|^2}{\| \boldsymbol{p} \|^2} = \boldsymbol{r} \; \checkmark $$

siempre que el punto $\boldsymbol{r}$ es perpendicular al momento $\boldsymbol{p}$ . Permítanme que me explaye. Imagina que la dirección de la línea es $\boldsymbol{\hat{e}} = \boldsymbol{p} / \| \boldsymbol{p} \|$ y considera un punto $\boldsymbol{r} + t \boldsymbol{\hat{e}}$ para algún escalar arbitrario $t$ . El momento angular será $\boldsymbol{L} = ( \boldsymbol{r} + t \boldsymbol{\hat{e}}) \times \boldsymbol{p} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p} $ . Así que en qué punto de la línea (el valor de $t$ ) no importa. Por último, si $\boldsymbol{r}$ no es perpendicular a $\boldsymbol{p}$ puedes siempre encontrar un valor de $t$ que hace que el punto sea perpendicular. Establece $t = -(\boldsymbol{r} \cdot \boldsymbol{p}) / \| \boldsymbol{p} \|$ y el punto se ser perpendicular.

_{Ese punto siempre se puede encontrar, y es el punto de la recta más cercano al origen.}

La ley de conservación del momento angular (unida a la ley de conservación del momento lineal) sólo establece que no sólo se conservan la magnitud y la dirección del momento pero también se conserva la línea en el espacio por la que actúa el momento . Así que no sólo en qué dirección está el punto de impulso, sino en qué lugar del espacio existe.

Para visualizarlo, considere un caso en el que quiera eliminar el momento de un cuerpo que gira libremente y que se mueve en el espacio. Tienes un martillo, y necesitas averiguar lo siguiente para detener completamente el cuerpo. a) con cuánto impulso golpearlo (la magnitud), b) en qué dirección oscilar (dirección) y c) dónde golpearlo (ubicación).

En resumen, las cantidades comunes en mecánica se interpretan de la siguiente manera

$$ \begin{array}{r|l|l} \text{concept} & \text{value} & \text{moment}\\ \hline \text{rotation axis} & \text{rot. velocity}, \boldsymbol{\omega} & \text{velocity}, \boldsymbol{v} = \boldsymbol{r}\times \boldsymbol{\omega} \\ \text{line of action} & \text{force}, \boldsymbol{F} & \text{torque}, \boldsymbol{\tau} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F} \\ \text{axis of percussion} & \text{momentum}, \boldsymbol{p} & \text{ang. momentum}, \boldsymbol{L} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p} \end{array} $$

Lo que hay debajo de la valor son cantidades fundamentales que nos dan la magnitud de algo (así como la dirección). Lo que está debajo de la momento son magnitudes secundarias que dependen del lugar en el que se miden y dan la ubicación relativa de las magnitudes fundamentales. De ahí los términos par = momento de fuerza, velocidad = momento de rotación y momento angular = momento de impulso. Todo esto significa que estas magnitudes son $\boldsymbol{r} \times \text{(something fundamental)}$ y describen el momento brazo a este algo.

La ubicación de la línea en el espacio es siempre la misma fórmula

$$ \text{(location)} = \frac{ \text{(value)} \times \text{(moment)}}{ \text{(magnitude)}^2} $$

donde $\text{(magnitude)}$ es siempre la magnitud del $\text{(value)}$ vectorial.

En estática, por ejemplo, aprendemos a equilibrar fuerzas y momentos, lo que debe interpretarse como un equilibrio entre la magnitud de la fuerza y la línea de acción de la misma.

Answer 2

La pregunta original está etiquetada como "mecánica newtoniana", pero el autor también habla de "fuerzas fundamentales", por lo que supongo que puede ser de algún interés señalar algunos fenómenos fundamentales que son observables con objetos macroscópicos clásicos, pero que están, estrictamente hablando, más allá de la mecánica newtoniana.

En la mecánica cuántica, el momento angular de un fotón es fundamental. Cuando los fotones circularmente polarizados son absorbidos o los fotones son dispersados con un cambio de polarización, la transferencia de su momento angular puede ser detectada como un par macroscópico - por ejemplo, causando la rotación de objetos pequeños pero macroscópicos.

Este efecto no depende del lugar donde el fotón incide en el objeto con respecto a su centro de masa.

(Discusión anterior relevante para la pregunta del OP: ¿Es posible aplicar un par de torsión sin un brazo de momento? )

Cuando un fotón es absorbido, su momento angular provoca el cambio del momento angular de los electrones del objeto. A través de algunos mecanismos de relajación, el momento angular de los electrones se transfiere a la rotación macroscópica del objeto. No estoy seguro de cuáles son exactamente estos mecanismos - el tratamiento adecuado de cómo se transfiere el momento angular a la red no es un tema trivial: https://arxiv.org/pdf/1802.01638.pdf

La interpretación clásica simple de la situación es: el fotón induce un momento dipolar en el medio absorbente, y este dipolo experimenta un par de torsión por el campo eléctrico giratorio del fotón -- la situación se asemeja a lo que ocurre en el motor de inducción.

Primer experimento con la dispersión de fotones: "Detección y medición mecánica del momento angular de la luz" Richard A. Beth 1936 https://journals.aps.org/pr/abstract/10.1103/PhysRev.50.115

Utilizar los fotones para hacer girar objetos pequeños pero macroscópicos: "...utilizando la transferencia del momento angular de giro de los fotones, también es posible poner los objetos en movimiento de rotación simplemente apuntando a ellos con un haz de luz polarizada circularmente" "Giro ultrarrápido de nanopartículas de oro en agua utilizando luz polarizada circularmente" 2013 https://pubs.acs.org/doi/abs/10.1021/nl4010817

(La luz puede llevar momento angular no sólo en el espín de los fotones sino también como momento angular orbital. Véase la respuesta de Emilio Pisanty aquí: Espín del fotón y momento angular totalun )

(Esta respuesta se ha actualizado para responder a las preguntas de los comentarios).

Answer 3

En la medida en que el par (o el momento) se deriva de la fuerza, entonces la fuerza es más "fundamental" que el toque.

Sin embargo, el par motor es, sin duda, algo más que la fuerza con un "equipaje" adicional. Y es algo más que un sistema de coordenadas. El par y la fuerza no son una cuestión de uno u otro. Ambas son necesarias para el análisis del movimiento y el equilibrio.

El momento, que es otro término para el par de torsión, es un concepto fundamental en la estática. Por ejemplo, en la estática se necesitan tanto las fuerzas como los momentos para determinar el equilibrio estático. Las fuerzas provocan un movimiento rectilíneo. Los momentos provocan el movimiento de rotación. Los requisitos para el equilibrio son que la suma de los momentos y las fuerzas debe ser cero. Y esto va más allá de la estática. Los momentos de flexión y las fuerzas de corte son fundamentales para el estudio de la mecánica de materiales.

Aprenderá a apreciar la diferencia cuando estudie estática, dinámica y mecánica de materiales.

Espero que esto ayude

Answer 4

Desde una perspectiva puramente newtoniana, yo diría que la fuerza es un concepto más fundamental que el par. Esto se debe principalmente a que el par es, a falta de un término mejor, una propiedad de las fuerzas. Además, el par producido por una fuerza depende de tu elección subjetiva sobre qué punto estás calculando el par. Todo esto se recoge en la definición de par $$\boldsymbol\tau=\mathbf r\times\mathbf F$$ donde $\mathbf F$ es el vector de fuerza y $\mathbf r$ es el vector que apunta desde el punto sobre el que se calcula el par hasta el punto donde se aplica la fuerza.

Obsérvese que esto define el par en términos de una fuerza, pero no se puede determinar una fuerza a partir de un par. Para un determinado $\boldsymbol\tau$ y un determinado $\mathbf r$ no hay una fuerza única $\mathbf F$ . Por lo tanto, esto también da la impresión de que la fuerza es un concepto más fundamental.

También hay que tener en cuenta que la definición de par no depende de si estamos utilizando coordenadas polares o no. Se puede hablar de fuerzas en coordenadas polares sin referirse al par, y se puede hablar de pares en coordenadas cartesianas.

Así que el par motor no es fundamental, pero eso no significa que no sea útil. Es útil para ver cómo las fuerzas hacen que los cuerpos extendidos se muevan (o no se muevan), y es útil cuando el movimiento tiene simetría rotacional alrededor de algún punto (es decir, cuando el momento angular se conserva).

---

Yendo más allá de la mecánica newtoniana, diré que el par de torsión podría considerarse algo más fundamental que en la mecánica newtoniana, pero creo que incluso en ese caso el enfoque se desplaza simplemente al momento angular en lugar de al par de torsión.

La razón por la que digo esto es porque una vez que se llega al nivel de la física en el que el momento angular es fundamental realmente se deja de hablar de fuerzas y pares de todos modos, y lo que se enfoca más es el momento y la energía. Por ejemplo, la mecánica lagrangiana y hamiltoniana se centran más en la energía que en las fuerzas. La ecuación de Schrodinger se ocupa de las energías más que de las fuerzas.

Además, tenemos el espín que tiene un momento angular asociado, pero no existe un análogo clásico para él. Ni siquiera se habla de pares cuando se trata de espín, pero sí se habla mucho de momento angular. Incluso entonces, para el momento angular sin espín, los operadores de momento angular se siguen definiendo en términos de operadores de momento lineal.

Así que, supongo que mi punto de vista en todo esto es que el par motor no es muy fundamental. A nivel clásico, los pares son realmente propiedades de las fuerzas. Una vez que te adentras en la física, el enfoque se desplaza hacia la energía, el momento y el momento angular. El par desaparece.

---

Para llegar a sus preguntas más prácticas:

Entonces, ¿es arbitraria la elección de utilizar la fuerza o el par como base de las leyes y los problemas? ¿O hay una razón fundamental real para cuando se debe utilizar una u otra?

No diría que es arbitrario, pero tampoco diría que hay ciertas reglas a seguir en cuanto a cuándo el par es útil o no. Lo que es válido para utilizar el par en un determinado problema es realmente válido para cualquier tipo de estrategia de resolución de problemas. Si te das cuenta de que pensar en el par te ayudará a resolver el problema, ¡entonces debes usarlo! Por ejemplo, si estamos interesados en el cambio de momento angular de un objeto en rotación producido por una fuerza, sería útil pensar en el par que produce esta fuerza. Sin embargo, si quieres analizar el movimiento de un proyectil cerca de la superficie de la Tierra, no sería muy útil pensar en el par que tiene la fuerza de gravedad sobre algún punto de referencia (aunque no significaría necesariamente que estés equivocado por intentar analizar el problema de esta manera).

Answer 5

Sí, los conceptos de fuerza y par son igualmente fundamentales.

El teorema de Noether establece que cada simetría de un sistema físico corresponde a una ley de conservación. La simetría en la traslación da lugar a la conservación del momento, del que la fuerza es la derivada (por tanto, la suma de todas las fuerzas de un sistema físico es siempre 0). La simetría en la rotación da lugar a la conservación del momento angular, del que el par es la derivada (por tanto, la suma de todos los pares en un sistema físico es siempre 0).

Las simetrías bajo traslación y bajo rotación son igualmente fundamentales para la mecánica, por lo que fuerza y par son conceptos igualmente fundamentales.