No es un cuadrado perfecto de la forma para cualquier número entero x.

Question

Ahora, me he convertido en un buen fan de este sitio, ya que este sitio me hace aprender más matemáticas jajaja. Muy bien.

¿Podemos demostrar que $x^3 + 7$ no puede ser cuadrado perfecto para cualquier entero positivo/negativo o impar/par de $x$ .

Lo he comprobado con números hasta x = 1,...1000. Me di cuenta de que, no es un perfecto. Pero, ¿cómo probar la declaración sin más comprobación en lugar de 1001, ...

Answer 1

Reescribamos nuestra ecuación diofantina como $y^2+1=x^3+8$ . Tenga en cuenta que $x$ no puede ser uniforme, ya que $y^2+1$ no puede ser divisible por $4$ .

Así que $x$ debe ser impar. Tenemos $$y^2+1=x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4).$$ Supongamos que $x\equiv 1\pmod{4}$ . Entonces $x+2\equiv 3\pmod{4}$ lo cual es imposible, ya que un número positivo de la forma $4k+3$ no puede dividir $y^2+1$ .

Supongamos que $x\equiv 3\pmod{4}$ . Entonces $x^2-2x+4\equiv 1-2(3)\equiv 3\pmod{4}$ de nuevo imposible.

Answer 2

Esta es una ecuación de Mordell: $$ x^3+7=y^2 $$ y todas las ecuaciones de Mordell tienen un número finito de soluciones. Se puede ver en A054504 en el OEIS que esta ecuación particular no tiene soluciones, pero no conozco una prueba fácil. Con este tipo de ecuación diofantina puede que no haya una prueba fácil.