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podemos aproximar $f,$ en $L^{p}$ -norma, por una función $f+h$ que es constante en una cierta vecindad del punto?

Supongamos que $f\in L^{p}(\mathbb R), (1<p <\infty), \epsilon > 0, \gamma_{0}\in \mathbb R.$ Entonces

Mi pregunta es : ¿Podemos esperar encontrar, $h\in L^{p}(\mathbb R)$ tal que $\|h\|_{L^{p}(\mathbb R)} < \epsilon,$ y $$h(x)=f(x)-f(\gamma_{0});$$ para todos $x$ en algunos barrio de $\gamma_{0}$ ? (A grandes rasgos, la pregunta dice que, ¿podemos aproximar $f,$ en $L^{p}$ -norma, por una función $f+h$ que es constante en un algunos vecindad del punto $\gamma_{0}.$ )

Gracias,

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PhoemueX Puntos 19354

Considere $h_n = f \cdot \chi_{\Bbb{R}^n \setminus B_{1/n}(\gamma_0)}$ y utilizar la convergencia dominada.

Esto implica que $h_n \to f$ en $L^p$ y cada $h_n$ es constante en la bola $B_{1/n}(\gamma_0)$ con radio $1/n$ alrededor de $\gamma_0$ .

EDIT: Ok, para obtener una solución a la formulación precisa de su problema, tome

$$ h(x) = (f(x) - f(\gamma_0)) \cdot \chi_{B_{1/n}(\gamma_0)}. $$

Entonces se puede concluir (utilizando la convergencia dominada y el hecho de que la medida de la bola disminuye a cero) que $h \to 0$ en $L^p$ como $n \to \infty$ .

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