Dejemos que $A$ ser un $8\times 8$ matriz compleja con polinomio característico $$p_A(x)=(x-1)^4(x+2)^2(x^2+1)$$ y el polinomio mínimo $$m_A(x)=(x-1)^2(x+2)^2(x^2+1).$$ Determinar todas las posibles formas canónicas de Jordan de $A$ . Además, ¿cuál es la dimensión del eigespacio para $\lambda = 1$ para cada caso?
Todavía no he aprendido el polinomio mínimo, así que quería comprobar si voy por el buen camino.
A partir del polinomio característico, los valores propios son $i,-i,-2,1$ . A partir del polinomio mínimo, los tamaños de los bloques son $1,1,2$ para los valores propios $i,-i,-2$ respectivamente. Para $\lambda = 1$ el mayor tamaño de bloque es 2, por lo que los posibles tamaños de bloque son $2,2$ , que tiene un espacio de dim de 2 ( $J_1$ ). O los tamaños son $2,1,1$ , que tiene un espacio de dim de 3 ( $J_2$ ). Escribiendo la matriz de Jordan completa:
$J_1=\begin{pmatrix}1&1&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&1&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&-2&1&0&0\\0&0&0&0&0&-2&0&0\\0&0&0&0&0&0&i&0\\0&0&0&0&0&0&0&-i\end{pmatrix}$, $J_2=\begin{pmatrix}1&1&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&-2&1&0&0\\0&0&0&0&0&-2&0&0\\0&0&0&0&0&0&i&0\\0&0&0&0&0&0&0&-i\end{pmatrix}$
