La prueba de dos ángulos para la función seno se derivan de la utilización de $$\sin(A+B)=\sin A\cos B+\sin B\cos A$$ and $$\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$$ for cosine function. I know how to derive both of the proofs using acute angles which can be seen here http://en.wikibooks.org/wiki/Trigonometry/Addition_Formula_for_Cosines but pretty sure those who have taken trig know what I'm talking about. So I know how to derive and prove both of the two-angle functions using the acute angles, but what I am completely confused about is where those triangles came from. So for proving the two-angle cosine function, we look at two acute angles, $Un$ and $B$, where $a+B<90$ y mantener en expansión. Así que mi pregunta es, ¿de dónde salieron los dos triángulos que se viene y lo que es la intuición detrás de tener dos aguda triángulos en la parte superior de uno al otro?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Esta es una gran pregunta, porque estoy convencido de que todo el frío identidades trigonométricas son simples diagramas explicativos.
En una "unidad de la hipotenusa" derecho triángulo $\triangle ABC$ (con ángulo recto en $C$), la pierna opuesta $A$ tiene una longitud de $\sin A$ y el lado adyacente a $A$ tiene una longitud de $\cos A$. Por proporcionalidad, si la hipotenusa tiene una longitud de $c$, luego la pierna opuesta $A$ tiene una longitud de $c\;\sin A$ y la pierna adyacentes a $A$ tiene una longitud de $c\;\cos A$. Pero usted sabe esto.
Así, para la elaboración de diagramas de identidades trigonométricas,
Siempre que vea algo como "esto $\cdot \sin(\text{that})$", que representan a ese término por el cateto de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es "este" y cuyo ángulo opuesto a la pierna es "que". Asimismo, representan "esta $\cdot \cos(\text{that})$" con un segmento adyacente al ángulo "que" en un triángulo rectángulo con hipotenusa "este".
... y de explotar a los teoremas sobre rectas paralelas y ángulos congruentes siempre que sea posible.
Voy a hablar a través de un ejemplo que es ligeramente más sencillo que (pero fuertemente relacionados con a) el que en su pregunta.
Considere la posibilidad de la identidad
$$p \sin\theta + q \cos\theta = r \sin\left(\theta+\phi\right)$$ donde$p^2+q^2=r^2$$\tan\phi = q/p$.
Por el lado de la mano izquierda, tenemos un triángulo rectángulo con hipotenusa $p$, y uno con la hipotenusa $q$, cada una con un ángulo agudo $\theta$. Queremos organizar los triángulos, de manera que la pierna opuesta $\theta$ $p$- triángulo y la pierna adyacentes a $\theta$ $q$- triángulo de hacer un segmento de recta que representa la suma de sus longitudes. Como así (con $\theta$ representado por un punto negro, ya que estoy reciclando un viejo de la imagen):
Mirando para el lado derecho de la $r$, la relación de Pitágoras $p^2+q^2=r^2$ indica que debemos mostrar a $r$ como la hipotenusa de un triángulo con las piernas $p$$q$. Por coincidencia interesante, el ángulo entre las hipotenusas de nuestra $p$-triángulo y $q$-triángulo es de por sí un ángulo recto! (Por qué?) Así que, uniéndose a los otros extremos de estos segmentos nos da $r$.
De hecho, ahora también tenemos $\phi$ (el punto blanco), ya que $q/p$ es claramente el "opuesto sobre adyacente" ratio para el marcado ángulo.
Para completar el diagrama, tenemos un triángulo rectángulo con hipotenusa $r$ y un ángulo agudo $\theta+\phi$ (estratégicamente colocados de manera que la mano izquierda y la mano derecha de los lados de la identidad son claramente iguales). Así, se tiene un triángulo rectángulo con hipotenusa $r$, pero eso no es suficiente; los ángulos están equivocados. Donde podemos ver $\theta+\phi$ (la suma de los puntos negros y puntos blancos)? Hmmm ... Mira en la esquina superior izquierda del diagrama: tenemos un ángulo de $\theta$ lado y ángulo de $\phi$ ... juntos forman $\theta+\phi$; y, hey! Que está a la derecha junto a ese segmento $r$! Si tan sólo pudiéramos hacer $r$ la hipotenusa de un triángulo rectángulo con ángulo de $\theta+\phi$.
Eso es fácil: trazar una perpendicular a!
Entonces, a continuación, nuevo (púrpura) segmento opuesto $\theta+\phi$ en un triángulo rectángulo con hipotenusa $r$; se debe tener la longitud de $r\;\sin(\theta+\phi)$.
Desde que el nuevo segmento es claramente congruente con el segmento inferior (que son los lados opuestos de un rectángulo), hemos demostrado que las partes de la trig identidad son iguales. ¡Misión cumplida!
De hecho, podemos hacer un poco poco mejor. No es genial que la púrpura segmento está oscureciendo otras partes del diagrama. Pero, ¿cómo nos movemos? La sacamos porque necesitábamos un triángulo con un $\theta+\phi$; para moverlo, necesitaríamos otro ángulo, como que ... oh, espera un minuto ... Observe cómo los lados del diagrama son paralelas (perpendicular a un segmento común)? y cómo ese $r$ segmento es su transversales? Hmmmm ...
Ahora podemos sacar otro convenientes ---y no oscurece--- perpendicular a representar a $r\;\sin(\theta+\phi)$.
Y hay que tener un diagrama de la identidad de $p\;\sin\theta + q\;\cos\theta = r\;\sin(\theta+\phi)$.
Para el ángulo de la suma de las fórmulas,
$$\begin{align} \sin(\alpha + \beta) &= \sin \alpha\;\cos\beta + \cos\alpha\;\sin\beta \\ \cos(\alpha + \beta) &= \cos \alpha\;\cos\beta - \sin\alpha\;\sin\beta \end{align}$$
toma un ligero salto para saber cómo se representan las componentes de productos. Tomemos, por ejemplo, $\sin\alpha\;\cos\beta$. Se trata de una "$\text{this}\cdot\sin(\text{that})$ " (con "esto"$=\cos\beta$ y "que"$=\alpha$), o "$\text{this}\cdot\cos(\text{that})$" situación? Podría ser, pero vamos a suponer que la anterior, lo que significa que nos gustaría nuestro diagrama de la característica de un triángulo rectángulo con hipotenusa $\cos\beta$ y un ángulo agudo $\alpha$. Pero, para crear nuestro hipotenusa de longitud $\cos\beta$, nos va a hacer falta para ser una pierna adyacentes a $\beta$ en un triángulo rectángulo con hipotenusa $1$: debemos pila de un triángulo en la parte superior de otro!
La buena noticia es que el "otro" de la pierna en la (azul) triángulo rectángulo con hipotenusa $\cos\beta$ tendrá la longitud de la $\cos\alpha\;\cos\beta$, lo cual es conveniente, porque vamos a necesitar uno de esos. Ah, y bueno ... La otra pierna en el (rosa) triángulo de hipotenusa $1$ tiene una longitud de $\sin\beta$, lo que podría ser la hipotenusa de una nueva y cómoda triángulo con las piernas $\cos\alpha\;\sin\beta$$\sin\alpha\;\sin\beta$; necesitamos esos, también!
Muy bien, nos encontramos con que hemos creado (en la parte inferior izquierda) el ángulo de $\alpha+\beta$. Como antes, podemos colocar un simple perpendicular a obligado que el ángulo interior de un triángulo rectángulo con hipotenusa $1$; pero, como antes, podemos hacer un poco mejor:
Esto nos da una (blanco) triángulo rectángulo con hipotenusa $1$ y las piernas $\sin(\alpha+\beta)$$\cos(\alpha+\beta)$, ubicadas de tal manera que la condición sine segmento está claro que es la suma de los dos segmentos verticales hemos construido, y que el coseno segmento es claramente diferencia de los segmentos horizontales.
Con un muy ligero ajuste, que a su vez el diagrama en una ilustración de el ángulo de diferencia de identidades
$$\begin{align} \sin(\alpha-\beta) &= \sin\alpha\;\cos\beta - \cos\alpha\;\sin\beta \\ \cos(\alpha-\beta) &= \cos\alpha\;\cos\beta + \sin\alpha\;\sin\beta \end{align}$$
Os animo a buscar más diagramas de identidades, tanto como un simple ejercicio en la comprensión de su trig, pero también como una búsqueda para determinar lo que las identidades están realmente tratando de decir. (Buscar en la web "trig prueba sin palabras", y verás lo útil que estas cosas pueden ser.)
Por ejemplo, he aquí una imagen sencilla prueba de la Ley de los Cosenos, creado mediante la elaboración de diagramas de estrategias que se describen aquí:
Una vez que usted comienza a pensar de Cálculo, se podrían considerar los diagramas para el "poder de la serie" de seno y el coseno y la secante y la tangente. (Si usted viene para arriba con los diagramas para la cosecante y la cotangente, hágamelo saber!)
Mi profesor de física era de Alemania, y él dijo: estudiantes de secundaria se les enseñó a sólo rederive identidades trigonométricas en cualquier momento que lo necesitaba como el uso de complejo de "álgebra". Es decir, se puede escribir: \begin{align} \cos(x+y)+i\sin(x+y) & = e^{i(x+y)}= e^{ix}e^{iy}\\ & = (\cos(x)+i\sin(x))(\cos(y)+i\sin(y))\\ & = \cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)+i(\cos(x)\sin(y)+\sin(x)\cos(y)) \end{align}
muy rápidamente, y conseguir el deseado de identidad por considerar la parte real o imaginaria de la ecuación. Por ejemplo, pruebe esto para $e^{i2x}=e^{ix}e^{ix}$.
El triángulo inferior es el triángulo rectángulo se utiliza para calcular el seno y el coseno de $\alpha$. El triángulo superior es el triángulo rectángulo se utiliza para calcular el seno y el coseno de $\beta$, escalar y girar de modo que su base es igual a la hipotenusa del triángulo inferior.
Sabemos que las proporciones de los lados de estos triángulos debido a las definiciones de seno y coseno. Hacer la base del triángulo superior de la misma longitud de la hipotenusa del triángulo inferior, permite que las relaciones de establecerse entre los dos triángulos. Configuración de la base de la parte superior del triángulo para estar alineados con la hipotenusa del triángulo inferior crea un triángulo con $\alpha+\beta$ como un ángulo.
