¿Cuál es la clasificación de espacio de "G-paquetes con conexiones"

Question

Deje de $G$ ser (tal vez la Mentira) de grupo, y $M$ un espacio (tal vez un colector). A continuación, un principal de $G$-paquete de más de $M$ es un paquete de $P \a M$ que $G$ actos (por la fibra de la preservación de los mapas), de modo que cada fibra tiene un costo de $G$-torsor ($G$-acción isomorfo, aunque no canónicamente por tanto, a la acción de $G$ en sí mismo por la multiplicación). Un mapa de $G$-paquetes es un paquete de mapa que juega bien con las acciones.

Entonces yo más o menos sé lo que la clasificación de espacio de $G$ es: es un paquete de $EG \a BG$ que es universal en el homotopy categoría (principal) $G$-paquetes. I. e. $G$-paquete de $P \a M$ tiene una (única hasta homotopy) mapa de $P\a, por ejemplo$ y $M \BG$, y por el contrario cualquier mapa $M\BG$ (hasta homotopy) determina un (único hasta el isomorfismo) de paquete $P \a M$ y tirando hacia atrás de la obvia de la plaza.

Al menos así es como creo que funciona. De Wikipedia, la descripción de $BG$ está aquí.

Por lo tanto, vamos $G$ ser una Mentira grupo y $M$ con un suave colector. En un $G$-paquete de $P \a M$ me puede pensar acerca de las conexiones. Como siempre, una conexión debe determinar para cada buen camino en la $M$ de $G$-torsor isomorfismo entre las fibras en los extremos de la ruta. Así, en particular, un paquete-con-la conexión es un (suave) functor de la trayectoria en el espacio de $M$ a la categoría de $G$-torsors. Pero no todos estos son conexiones: el valor de holonomy a lo largo de una ruta de acceso es un invariante hasta "fino homotopy", que es essentailly homotopy que no empuja lejos de la imagen de la curva. Entonces uno podría decir que un paquete-con-la conexión es un buen functor de la fina homotopy-ruta-espacio.

Más manos, una conexión en $P \G$ es un ${\rm Mentira}(G)$valores de un formulario en $P$ es (1) invariantes bajo la $G$ la acción, y (2) restringe en cada fibra, a la canónica de ${\rm Mentira}(G)$valores de un formulario en $G$ que toma un vector tangente a la izquierda invariante en el campo (se le considera como un elemento de ${\rm Mentira}(G)$).

De todos modos, mi pregunta es: ¿hay un "espacio" (de algún tipo) que clasifica a los $G$-paquetes de más de $M$ con conexiones? Es decir, los datos de un paquete debe ser el mismo ( ... ) como un mapa de $M \ $ este espacio. La categoría de $G$-torsors es casi correcta, pero el mapa no viene de los $M$ sino de su delgada homotopy ruta de espacio.

Por favor, volver a etiquetar como se desee.

Answer 1

Hay un estúpido respuesta que está en clases de equivalencia de G-paquetes con conexión en M son los mismos que homotopy clases de mapas $M \BG$. Que es tan largo como dos G-paquetes con la conexión se consideran equivalentes si tienen la misma base principal del paquete. Esta no pretende ser una respuesta seria, acaba de señalar que su pregunta no es exactamente bien planteado.

Pero más en serio, hay una pila que representa G-director de paquetes con las conexiones. Incluso tiene una agradable forma:

$$ Bun_G^\nabla = [ \Omega^1( - ; \mathfrak{g}) / G]$$

Los mapas de M al este de la pila son los principales G-paquetes con la conexión.

El problema con esta pila es que no es presentable. No está cubierto por un colector. Se puede describir como un cociente de la pila, pero cosa de actuar es la gavilla $\Omega^1(-; \mathfrak{g})$ álgebra de Lie con valores de 1-formas. Este es un tipo generalizado de colector (en un sentido riguroso), pero esta gavilla no es representable (gran ejercicio!).

Si fue un presentable de la pila, entonces podríamos tomar su clasificación en el espacio (hay varias maneras de hacer esto, el correo.coge la realización de la simplicial colector obtenidos por iterada de los productos de fibra de la cubierta del colector). Homotopy clases de mapas para este espacio a continuación, podría estar relacionada con ciertas clases de isomorfismo de mapas para la pila. Pero desde $Bun^\nabla_G$ no es presentable que estamos un poco estancados.

Usted podría preguntar, ¿qué sucede si puedo reemplazar $\Omega^1(-; \mathfrak{g})$, con una honesta espacio topológico que es la mejor aproximación a la misma (para los mapas). Así resulta que el espacio que mejor se aproxima a $\Omega^1(-; \mathfrak{g})$ es el punto. Para obtener la clasificación de espacio de la pila $[pt/G]$, que es sólo el habitual BG.

Answer 2

No debe ser una respuesta a Theo la pregunta en términos de conexiones universales, pero no sé.

Esta conexión universal es una conexión en la principal universal de $G$-paquete de más de $BG$, tal que cada $G$-bundle con conexión de más de $M$ es isomorfo (como un paquete con conexión) para la retirada de $por ejemplo$ a lo largo de algunos de mapa $M \BG$.

Nunca he encontrado una respuesta a la siguiente pregunta inmediata: ¿cuál es la correcta relación de equivalencia en el espacio de los mapas de $M$ a $BG$, que de clases de equivalencia de los mapas están en una correspondencia uno a uno con clases de isomorfismo de $G$-paquetes con la conexión de más de $M$. ¿Alguien sabe de esto?

También quería comentar que $G$-paquetes con la conexión no es lo mismo que suave functors en la delgada capa de la ruta groupoid de $M$. Suponiendo global suavidad, sólo te conexiones en trivializable paquetes. La historia completa se encuentra aquí: http://arxiv.org/abs/0705.0452.

Answer 3

Para agregar a Chris responder, ya que el espacio de las conexiones es contráctiles, si usted está buscando un espacio en el que se clasifican los haces con conexiones wrt homotopy clases de mapas en él, entonces estás de suerte: $BG$ si desea un espacio, o de la pila, si usted está preparado para aceptar algo más general.

Pero si usted trabaja en una categoría diferente, entonces usted puede conseguir más. Tengo un vago recuerdo de que se le dijo que $BG$ clasifica los paquetes-con-conexión si usted trabaja con toda la homotopy tipo de la asignación de espacio de dólares Mapa(X,BG)$ en lugar de sólo $\pi_0$ de la misma (que es lo que pasa si usted toma homotopy clases de mapas). No estoy muy seguro de cómo hacer que completa el sentido de que, pero tal vez algún alma caritativa le paso en los comentarios y nos ilumine.