En "Concepts in Thermal Physics" (segunda edición) de Blundell y Blundell, la temperatura se define mediante la siguiente relación: $\frac{1}{k_BT}=\frac{\mathrm{d}\ln(\Omega)}{\mathrm{d}E}$ . Me pregunto cómo esta relación entre T, E y $\Omega$ y cómo encaja con las demás definiciones de temperatura.
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daveagp
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user282830
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Esta conexión está vinculada tanto a la dinámica térmica como al conjunto estadístico microcanónico.
A partir de la dinámica térmica, la entropía se define como $dS =\frac{dQ}{T}$ . Utilizando la primera ley de la dinámica térmica: $$ \tag{1} dS = \frac{dQ}{T} = \frac{1}{T} \left[ dU + PdV -\mu dN \right] $$ Entonces, trata la entropía como una función atada $S(U,V,N)$ La regla de la cadena de diferenciación: $$\tag{2} dS = \frac{\partial S}{\partial U}\Big\vert_{N,V} dU + \frac{\partial S}{\partial V}\Big\vert_{U,N}dV +\frac{\partial S}{\partial N}\Big\vert_{U,V} dN. $$
Comparando la Ec.(1) y la Ec.(2), tenemos las relaciones de Maxwell: \begin{align} \frac{1}{T} =& \frac{\partial S}{\partial U}\Big\vert_{N,V}\tag{3}\\ \frac{P}{T} =&\frac{\partial S}{\partial V}\Big\vert_{U,N} \\ \frac{\mu}{T} =& -\frac{\partial S}{\partial N}\Big\vert_{U,V} \\ \end{align}
Entonces, a partir del esquema de conjunto estadístico microcanónico, el número total de microestados $\Omega$ se calcula en función de $\Omega(E, V, N)$ , donde $E = \sum_i^N \epsilon_i$ . La condición de equilibrio se asume por el máximo $\Omega(E, V, N)$ con una restricción que $E = \sum_i^N \epsilon_i = U$ , donde $U$ es la energía interna dada de la dinámica térmica.
En condiciones de equilibrio, la entropía se define mediante la fórmula de Boltzmann: $$ \tag{4} S = S(U, V, N) = K_b \ln \Omega(E=U, V, N) $$
Por lo tanto, maximizamos el $\ln \Omega(E, V, N)$ con constrian $E = U$ \begin{align} \frac{\partial }{\partial E} &\left\{ \ln\Omega(E, V, N) -\lambda (E-U) \right\}=0\\ \Longrightarrow &\,\,\,\frac{\partial \ln\Omega(E, V, N) }{\partial E}\big\vert_{E=U} - \lambda = 0 \tag{5} \end{align}
La ecuación(5) se supone en equilibrio térmico ( $E$ se sustituye ahora por $U$ ), $S = K_b \ln \Omega$ y Ahora podemos comparar la ecuación (5) con la relación de Maxwell en la dinámica térmica, Ec.(3).
$$ \lambda = \frac{1}{K_b T}. $$
Y reescribir la Ec.(5) como $$ \frac{\partial \ln\Omega(E, V, N) }{\partial E}\big\vert_{E=U}=\frac{1}{K_b} \frac{\partial S }{\partial U} = \frac{1}{K_b T} $$
ArminasAnarchy
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Este es el argumento por el que la entropía estadística tiene esa forma. En termodinámica la temperatura es definido como $\frac{1}{T}=\frac{\partial S}{\partial E}$ , donde $E$ es la "energía" del sistema, y $S$ es la "entropía". La derivada parcial se toma con la condición de que todas las demás magnitudes extensivas, como el volumen y el número de partículas, se mantengan constantes. La "entropía" debe alcanzar el máximo en el estado de equilibrio del sistema (dada la energía, el volumen y el número de partículas se mantienen constantes).
Mecánica estadística trata de encajar en las definiciones de la termodinámica, y se puede demostrar que un sistema clásico, descrito por la distribución de probabilidad sobre los estados microscópicos, en el límite de un ruido externo desvanecido (y que preserva la energía) distribuirá uniformemente sobre todos los estados disponibles con la misma energía.
Para que algo sea un sistema termodinámico, la entropía debe alcanzar el máximo sobre la distribución de equilibrio, y como sabemos que la distribución de equilibrio es la "distribución de máxima dispersión" (es decir, uniforme en todo el espacio de fases disponible), la entropía debería ser "algo que aumenta a medida que la distribución de probabilidad ocupa una parte mayor del espacio de fases". Lo que fija $S=\ln(\Omega)$ es el requisito de que la entropía total de los sistemas que no interactúan sea aditiva (para dos sistemas que no interactúan $\Omega_{total}=\Omega_1\Omega_2$ y por lo tanto $S_{tot}=S_1+S_2$ ). Introduciendo la entropía en la definición de temperatura, obtenemos la conexión deseada de la mecánica estadística de los sistemas clásicos y la termodinámica: $$ \frac{1}{T}=\frac{\partial \ln{\Omega}}{\partial E} $$
