¿Qué es la torre del coskeleton de una cuasi-categoría?

Question

Estaba dando una charla en un seminario, y dije por error que la torre del coskeleton de una cuasi-categoría era su torre de Postnikov. Alguien me corrigió, pero a continuación se produjo una discusión sobre qué es, precisamente, esta torre. Parece ser que es homotopía-invariante, y cada $k$ -el esqueleto parece estar relacionado de alguna manera con algo parecido a un débil $(k,1)$ -de la categoría de homotopía para $k\geq 2$ pero los otros miembros del seminario dijeron que el $(k,1)$ -homotopía-categoría se construye de manera diferente y no parece ser equivalente. Lo interesante es que esta torre parece converger a $X$ cuando $X$ es una cuasicategoría.

¿Se ha estudiado antes esta torre? ¿Tiene un nombre?

Answer 1

Resulta que la respuesta es sí: $k$ -la coescalada de una cuasicategoría modela el truncamiento de una $(\infty,1)$ -a una categoría $(k-1,1)$ -categoría.

Recojamos algunas observaciones sencillas.

1. Tenemos un adjunto $sk_k \dashv cosk_k : sSet \to sSet$ .

2. $cosk_k$ conserva la propiedad de ser una cuasicategoría, es decir, desciende a un functor $cosk_k : qCat \to qCat$ .

   Para ver esto, observe que $sk_k(\Lambda^i[n] \to \Delta[n])$ es un isomorfismo para $k \leq n-2$ , una inclusión en el cuerno para $i \geq n$ y $\Lambda^i[n] \to \partial \Delta[n]$ para $k=n-1$ que puede ampliarse a una inclusión en la trompa mediante la postcomposición de $\partial \Delta[n] \to \Delta[n]$ . Así que si $X$ es una cuasicategoría, podemos transponer cualquier problema de elevación de cuernos para $cosk_k X$ a uno para $X$ y utilizar este análisis para resolver el problema de elevación allí.

   • Si pensamos un poco más en esto, veremos que $cosk_k$ también preserva las fibraciones internas entre cuasicategorías, aunque no entre conjuntos simpliciales arbitrarios.

3. $cosk_k$ preserva las equivalencias entre cuasicategorías. Equivalentemente, $cosk_k$ preserva las homotopías entre funtores entre cuasicategorías.

   Esto se deduce del hecho de que el isomorfismo de la marcha es 0-esquelético y $cosk_k$ preserva los productos binarios (de hecho, todos los límites).

4. Si $X$ es un $k$ -cuasicategoría de la costilla, entonces sus homoespacios son $(k-1)$ -complejos Kan, y en particular son $(k-1)$ -espacios truncados.

   Para ver esto, utilice el modelo $Hom^R_X(x,y)$ . Para un conjunto simplicial $A$ , mapas $A \to Hom^R_X(x,y)$ están representados por ciertos mapas $A \ast \Delta[0] \to X$ . En particular, un mapa $\partial \Delta[n-1] \to Hom^R_X(x,y)$ es un mapa $\partial \Delta[n-1] \ast \Delta[0] \to X$ . Pero existe una condición de degeneración que nos permite llenar la última cara restante para obtener un mapa $\partial \Delta[n] \to X$ . A su vez, esto puede ser llenado de manera única (para $n \geq k$ si $X$ es $k$ -coesquelético) para obtener un mapa $\Delta[n] = \Delta[n-1] \ast \Delta [0] \to X$ es decir, un mapa $\Delta[n-1] \to Hom^R_X(x,y)$ . Porque $Hom^R_X(x,y)$ es un complejo Kan, el hecho de que sea $(k-1)$ -Coesquelético implica que es $(k-1)$ -truncado.

5. El mapa $Hom^R_X(x,y) \to Hom_{cosk_k X}^R(x,y)$ es un isomorfismo en $(k-1)$ -skeleta. Así que es el $(k-1)$ -mapa de coescalonamiento, es decir, el $(k-1)$ -mapa de truncamiento.

   Un $n$ -simplex de $Hom^R_X(x,y)$ es un $(n+1)$ -simplex de $X$ satisfaciendo alguna condición que implique ciertas caras, por lo que sólo depende de la $(n+1)$ -esqueleto de $X$ . Desde $k$ -la coescalada no cambia la $(n+1)$ -esqueleto para $n \leq k-1$ Esto está claro.