Cálculo de la descarga de los ultracondensadores

Question

Digamos que tengo dos ultracondensadores de 500F, conectados en paralelo, cargados a 15V.

Estos son los condensadores BMOD0500 P016 B01 .

Entonces digamos que conecto los condensadores (a través de un inversor) a una bombilla de 230V que consume una potencia constante de 280W (el inversor se desconecta a 10V).

¿Qué ecuación utilizaría para calcular la cantidad de tiempo que el circuito permanecería activo?

Por favor, ignora la eficiencia del inversor, la tendré en cuenta más adelante.

Answer 1

Si modelamos la configuración con un condensador en paralelo con la carga, y dejamos que \$i\$ sea la corriente en la carga y \$v\$ la tensión a través de los dos, las ecuaciones del circuito son:

$$ \left\{ \begin{aligned} -i &= C \dfrac {dv} {dt} \\[1 em] v i &= P \end{aligned} \right. \qquad \Leftrightarrow \qquad \left\{ \begin{aligned} -i &= C \dfrac {dv} {dt} \\[1 em] i &= \dfrac P v \end{aligned} \right. $$

Donde P es el nivel de potencia constante. Juntando las dos se obtiene esta ecuación diferencial:

$$ C \dfrac {dv} {dt} = - \dfrac P v \qquad \Leftrightarrow \qquad v dv = - \dfrac P C dt \qquad \Leftrightarrow \qquad 2 v dv = -2 \dfrac P C dt $$

Si integramos empezando en el instante 0 donde suponemos una tensión \$v_0\$ es a través de la tapa, obtenemos:

$$ \int_{v_0}^{v} {2 v dv} = \int_0^t {-2 \dfrac P C dt} \qquad \Leftrightarrow \qquad v^2 - v_0^2 = -2 \dfrac P C t $$

De donde se puede obtener fácilmente una fórmula para la tensión y el tiempo:

$$ t = \dfrac {C}{2 P} (v_0^2 - v^2) \qquad v = \sqrt{v_0^2 - \dfrac{2P}{C} t} $$

Si queremos tener en cuenta la ESR u otros elementos del circuito, la ecuación se vuelve más difícil de resolver, pero para una estimación inicial debería ser suficiente.

Aquí se muestra una simulación LTspice para el sistema. Obsérvese que la carga ha sido modelada por una fuente de corriente de comportamiento que se comporta como una carga de potencia constante sólo hasta que su tensión alcanza Vmin, entonces vuelve a un comportamiento de resistencia constante. Esto es necesario para evitar la inestabilidad numérica en la simulación, ya que una verdadera fuente de potencia constante no es un dispositivo físico (con 0 voltios dibuja infinitos amperios).

Y aquí están los resultados. Se puede observar la confirmación de la forma de raíz cuadrada invertida en el tiempo de la tensión Vx predicha teóricamente más arriba. Las formas de las señales cambian a la tensión y la corriente habituales que decaen exponencialmente cuando la carga pasa al modo de resistencia constante.

Aquí hay un gráfico ampliado de la tensión, que muestra el valor del tiempo que buscas:

Lo cual es coherente con el valor calculado con la fórmula anterior:

$$ t_{shutdown} = t(v)\bigg|_{v=10V} = \dfrac {C}{2 P} (v_0^2 - v^2)\bigg|_{v=10V} = \dfrac {1000F}{2 \times 280W} \left[(15V)^2 - (10V)^2\right] = 223.2 s $$

Answer 2

Una respuesta teórica, como para un problema de deberes, sería tomar la energía en el condensador al inicio y la energía en el condensador cuando el dispositivo deja de funcionar (10V, presumiblemente) y restar las dos.

\$\Delta\$ U = \$(\frac{CV_i^2}{2}\$ - \$\frac{CV_f^2}{2})\$

Dado que conoces la tasa de consumo de energía (280J/s), puedes calcular fácilmente el tiempo de funcionamiento.