Longitud del conmutador módulo de subgrupos de índice finito

Question

Escribimos $cl$ para la longitud del conmutador, es decir, el menor número de conmutadores que se multiplican a un elemento dado de un grupo.

Dado un elemento $g$ en el subgrupo conmutador del grupo libre $G=F_2$ en dos generadores, ¿es cierto que $$cl_G(g) = \displaystyle \max_{\mbox{H < G finite index normal}} cl_{G/H} (g \mod H)$$ ?

Answer 1

Creo que la respuesta es no y que en realidad la longitud del conmutador del "cociente finito" (definido por su fórmula) está acotada en $[F_2,F_2]$ .

De hecho por Nikolov-Segal, en la terminación profinita $P$ de $F_2$ el subgrupo derivado $[P,P]$ es cerrado; ya que el conjunto $C$ de los conmutadores es compacto, se deduce por un argumento de Baire que $[P,P]$ está generada de forma limitada por $C$ (primero obtenemos por Baire que alguna vecindad abierta de la identidad de $[P,P]$ tiene una longitud de conmutador acotada en $P$ y luego utilizar la compacidad). Obsérvese, por otra parte, que $[F_2,F_2]=[P,P]\cap F_2$ que es esencialmente trivial ya que el grupo abeliano $F_2/[F_2,F_2]$ es residualmente finito. Así que en cualquier cociente finito de $F_2$ la longitud del conmutador de $w\in [F_2,F_2]$ está limitada por el número universal que surge como límite superior de la longitud del conmutador de $[P,P]$ en $P$ .

Por otro lado, la longitud del conmutador de $F_2=\langle x,y\rangle$ no tiene límites en $[F_2,F_2]$ como la longitud del conmutador de $[x,y]^n$ crece linealmente (creo que se debe a Bavard).