¿La suma y el producto de un número infinito de funciones continuas son también funciones continuas?

Question

Ya sea en el Análisis Real o por Def. de Conjunto Abierto de Continuidad en Topología, es fácil demostrar que la suma y el producto de un número FINITO de funciones continuas son también funciones continuas. Es decir, suponiendo que $f_1, ..., f_m:\Bbb R\rightarrow\Bbb R$ son continuos, entonces $S:\Bbb R\rightarrow\Bbb R$ y $P:\Bbb R\rightarrow\Bbb R$ definido por $S(x) = f_1(x) + ... + f_m(x)$ y $P(x) = f_1(x) \times ... \times f_m(x)$ son continuos.

Pero muchas funciones analíticas que son continuas se pueden escribir en su forma expandida (por series de Taylor), que son la suma y el producto de funciones INFINITAS. Mi pregunta es, AUNQUE haya otra forma de demostrar que algunas/todas las funciones analíticas son continuas (que no conozco esa forma), todavía deberíamos demostrarlo desde la forma de "la suma y el producto de infinitas funciones".

¿Podría ayudarme con la pregunta? Creo que debería bastar con una prueba de Topología o de Análisis, ya que, como podemos demostrar, la definición topológica de continuidad es equivalente a la $\epsilon - \delta$ para las funciones que mapean $\Bbb R$ a $\Bbb R$ .

EDIT: Permítanme reformularlo: el límite de la suma de dos funciones existe si el límite de cada una de las dos funciones existe. Si la suma de en número finito de funciones es una función que tiene límite en algún punto, ¿significa que se puede decir que para este tipo de función, la suma de un número infinito de funciones existe ya que el límite de la suma de esas infinitas funciones existe?

Answer 1

Consideremos la función definida por $$\begin{eqnarray}f(x) &= &\begin{cases} 1 &\mbox{if}\quad 0<x<\pi\\ 0 &\mbox{if}\quad x=0\\ -1 &\mbox{if}\quad -\pi<x<0 \end{cases}\\ f(x+2n\pi) &=& f(x) \quad \mbox{if}\quad n \in \mathbb N \end{eqnarray}.$$ Este es un ejemplo de "onda cuadrada". No es continua, pero el análisis de Fourier da una suma infinita de funciones (todas de la forma $a \sin(k\pi)$ ) que se suman a esta función.

En cuanto a tu pregunta editada, por otro lado, la única forma que conozco de incluso definir la suma de un número infinito de funciones es que el suma es la función límite $f$ de la secuencia de sumas de funciones finitas $f_n$ como $n$ va al infinito, si tal función $f$ existe. Si sabemos que $f$ tiene un límite en un punto determinado, es decir, $\lim_{x\to\infty} f(x)$ existe para un determinado valor de $x$ , entonces $f$ es continua en $x$ y también lo es la suma infinita de funciones (ya que esa suma está definida como $f$ ).

Answer 2

Puede que me equivoque, pero no creo que su suposición sea correcta. Si hacemos una serie infinita de funciones (Cada término de la serie correspondería a un término del conjunto infinito de funciones continuas), y suponemos que esta serie converge a una función $f$ entonces no podemos concluir que el $f$ es continua, a menos que esa convergencia sea uniforme.

Citaré un ejemplo del Cálculo de Apostol. Sea $f_n(x)=x^n$ donde $0\leq x\leq1$ . $f(x)=0$ cuando $0\leq x <1$ , $f(x)=1$ cuando $x=1$ . Así, aunque la secuencia de funciones converge, como la convergencia no es uniforme, la función límite no es continua a pesar de que las funciones de la secuencia sean continuas.

Ahora no se me ocurre una serie así, pero como una serie es básicamente una secuencia de sumas finitas, se le puede aplicar la misma lógica. Espero que esto haya servido de ayuda.