¿Cómo puedo demostrar que el Sistema Dynkin generado por $n$ subconjuntos de un conjunto tiene como máximo $2^{n+1}$ ¿elementos?
Es fácil de demostrar para subconjuntos disjuntos por pares e intuitivamente me parece que es cuando la cardinalidad es máxima, pero aún no he encontrado una prueba.
He intentado mostrarlo de forma inductiva considerando los siguientes conjuntos:
- el sistema Dynkin generado por n subconjuntos dados, llamémoslo $D_{n}$ ,
- para un determinado $(n+1)$ st subgrupo $A_{n+1}$ el conjunto de todas las uniones disjuntas de éste con elementos de $D_{n}$ : $\{A_{n+1} \cup B \vert B \in D_{n}, A_{n+1} \cap B = \emptyset \}$ ,
- el conjunto de todos los complementos de esos conjuntos: $\{(A_{n+1} \cup B)^{c} \vert B \in D_{n}, A_{n+1} \cap B = \emptyset \}$ .
Si pudiera demostrar que la unión de esos tres conjuntos es un sistema de Dynkin la prueba estaría hecha, porque por hipótesis de inducción $D_{n}$ tiene como máximo $2^{n+1}$ elementos y los otros dos conjuntos tienen como máximo $2^{n}$ elementos cada uno, lo que sería $2^{n+2}$ como máximo en total. El problema es que no puedo mostrar la cerrazón bajo uniones disjuntas, ¿alguien podría ayudarme con eso?
Gracias por cualquier ayuda.
