Número de elementos en un sistema Dynkin finitamente generado

Question

¿Cómo puedo demostrar que el Sistema Dynkin generado por $n$ subconjuntos de un conjunto tiene como máximo $2^{n+1}$ ¿elementos?

Es fácil de demostrar para subconjuntos disjuntos por pares e intuitivamente me parece que es cuando la cardinalidad es máxima, pero aún no he encontrado una prueba.

He intentado mostrarlo de forma inductiva considerando los siguientes conjuntos:

• el sistema Dynkin generado por n subconjuntos dados, llamémoslo $D_{n}$ ,
• para un determinado $(n+1)$ st subgrupo $A_{n+1}$ el conjunto de todas las uniones disjuntas de éste con elementos de $D_{n}$ : $\{A_{n+1} \cup B \vert B \in D_{n}, A_{n+1} \cap B = \emptyset \}$ ,
• el conjunto de todos los complementos de esos conjuntos: $\{(A_{n+1} \cup B)^{c} \vert B \in D_{n}, A_{n+1} \cap B = \emptyset \}$ .

Si pudiera demostrar que la unión de esos tres conjuntos es un sistema de Dynkin la prueba estaría hecha, porque por hipótesis de inducción $D_{n}$ tiene como máximo $2^{n+1}$ elementos y los otros dos conjuntos tienen como máximo $2^{n}$ elementos cada uno, lo que sería $2^{n+2}$ como máximo en total. El problema es que no puedo mostrar la cerrazón bajo uniones disjuntas, ¿alguien podría ayudarme con eso?

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Si no sólo está interesado en una prueba por inducción, podría intentar demostrar que $D(\mathcal{J})$ la cardinalidad es menor que $\#P(n+1)$ para $\#\mathcal{J}=n$ para ello puede WLOG suponer que $\mathcal{J}$ es un conjunto ordenado linealmente por $\subseteq$ Entonces puedes probar que $$\#P((\Omega )\cup \mathcal{J})\geq\#D(\mathcal{J})$$ ya que hay un función suryectiva $$f:P((\Omega )\cup \mathcal{J})\ \rightarrow D(\mathcal{J})$$ $f(\{A_k,...,A_j\})=A_j\backslash ....\backslash A_k$