Demostración rigurosa de una desigualdad trigonométrica en $(0,\pi/2)$

Question

Quiero mostrar $$f(x)=\sin \left(\frac{2 x}{17}\right)-8 \sin \left(\frac{4 x}{17}\right)+27 \sin \left(\frac{6 x}{17}\right)-64 \sin \left(\frac{8 x}{17}\right)+125 \sin \left(\frac{10 x}{17}\right)-216 \sin \left(\frac{12 x}{17}\right)+343 \sin \left(\frac{14 x}{17}\right)-512 \sin \left(\frac{16 x}{17}\right)<0,\quad x\in(0,\pi/2).$$ Esta desigualdad trigonométrica ha sido verificada por Mathematica usando el comando Plot. He encontrado $f$ se puede reescribir

$$f(x)=\sin \left(\frac{2 x}{17}\right)-2^3 \sin \left(\frac{2*2 x}{17}\right)+3^3 \sin \left(\frac{2*3 x}{17}\right)-4^3 \sin \left(\frac{2*4 x}{17}\right)+5^3 \sin \left(\frac{2*5 x}{17}\right)-6^3 \sin \left(\frac{2*6 x}{17}\right)+7^3 \sin \left(\frac{2*7 x}{17}\right)-8^3 \sin \left(\frac{2*8 x}{17}\right)<0,\quad x\in(0,\pi/2).$$ Sin embargo, no puedo dar una prueba rigurosa de ello. Cualquier sugerencia, idea o comentario es bienvenido, ¡gracias!

Answer 1

Muy bien, esto es más fácil de lo esperado. Si definimos $$ C_n(x) = \sum_{k=1}^{n}(-1)^k k^3\sin\left(\frac{2kx}{2n+1}\right)\tag{1} $$ a través de $\sin(\theta)=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$ que tenemos: $$\small{ C_n(x) = -\frac{i (-1)^n}{2z^n (1+z)^4}\left(3 n^2 z (1+z)^2 \left(-1+z^{2 n}\right)+z (1-4z+z^2)\left(-1+z^{2 n}\right)-3 n z \left(-1+z^2\right) \left(1+z^{2 n}\right)+n^3 (1+z)^3 \left(-1+z^{1+2 n}\right)\right)}\tag{2} $$ con $z=\exp\left(\frac{2ix}{2n+1}\right)$ . Esta fórmula explícita da como resultado que $C_n(x)$ y $(-1)^n$ tienen el mismo signo en el intervalo $(0,\pi)$ . Así que $(1)$ realmente es una versión más fea pero más simple de la desigualdad de Fejer-Jackson.