Resolver la ecuación diferencial $(x+1)^2y''-2(x+1)y'+2y=0$

Question

Resolver la ecuación diferencial $$(x+1)^2y''-2(x+1)y'+2y=0$$

Mi intento: sub. $x+1=u$ después de esta sustitución la ecuación anterior toma la forma $$u^2y''-2uy'+2y=0$$ Esta ecuación es de la forma $ax^2y''+bxy'+cy=0$ -que solución es $ar^2+(b-a)r+c=0.$ Según esto para nuestra ecuación tenemos $a=1,b=-2,c=2$

Ahora tengo $$ar^2-2r+2=0$$ La solución de la ecuación final es $r=1\pm i,$ donde $\alpha =1, \beta=1$

La solución es: $$y_{H}=C_1u\cos(\ln x)+C_2u\sin(\ln x)=C_1(x+1)\cos(\ln x)+C_2(x+1)\sin(\ln x)$$ Pero no sé si es la respuesta correcta. Dígame por favor.

Answer 1

$$(x+1)^2y''-2(x+1)y'+2y=0$$ Reescríbelo como; $$y''-2\dfrac {(x+1)y'-y}{(x+1)^2}=0$$ $$y''-2\left (\dfrac {y}{x+1}\right)'=0$$ E integrar.

Answer 2

Su solución es errónea, $u^2y''-2uy'+2y=0$ no es una EDO con coeficientes constantes, por lo que no se puede utilizar la ecuación característica directamente de esta manera.

Afortunadamente, en el caso de $u^py^{(p)}$ grupos donde $y^{(p)}$ denota el $p-$ derivar, y $x^p$ poderes de $x$ con el mismo $p$ entonces la sustitución $y=f(\ln(u))$ hace que las cosas sean bonitas.

$\begin{cases}y=f(\ln(u))\\ y'=\frac 1uf'(\ln(u))\\ y''=\frac {-1}{u^2}f'(\ln(u))+\frac 1{u^2}f''(\ln(u))\end{cases}$

Dejemos que el conjunto $t=\ln(u)$ y luego $\Big(-f'(t)+f''(t)\Big)-2f'(t)+2f(t)=0$

Su EDO se transforma en una lineal con coeficientes constantes

$$f''(t)-3f'(t)+2f(t)=0$$

La ecuación característica es $r^2-3r+2=(r-1)(r-2)$ y tenemos $f(t)=Ae^t+Be^{2t}$

Sustitución de la espalda $t=\ln(u)$ y $u=x+1$ se obtiene

$$y(x)=A(x+1)^2+B(x+1)$$

Answer 3

Sugerencia: definir $z:=y/u$ así que $$y=uz\implies y^\prime=uz^\prime+z,\,y^{\prime\prime}=uz^{\prime\prime}+2z^\prime\implies0=u^2y^{\prime\prime}-2uy^\prime+2y=u^3z^{\prime\prime}.$$