Cada elemento de una matriz ortogonal real es igual a su cofactor

Question

Si $A =(a_{ij})$ sea una matriz real ortogonal con $\det A = 1$ demostrar que cada elemento $a_{rs}$ de $A$ es igual a su cofactor $A_{rs}$ en $\det A$ . Tengo este problema básico de mi libro de texto y de alguna manera no pude proceder, por favor ayúdeme a obtener este resultado.

Answer 1

$A^t = A^{-1} = \frac{1}{\det A}(\operatorname{cofactor}(A))^t\quad$ implica $\quad A = \operatorname{cofactor}(A)\quad$ sólo si $\quad\det A=1$

La condición $\det A = 1$ es necesario, ya que el determinante aparece en la fórmula de la matriz inversa. Para una matriz ortogonal real general se obtendría

$A = \frac{1}{\det A}\operatorname{cofactor}(A)$

por lo que cada elemento sería proporcional a su cofactor, con $\frac{1}{\det A}$ siendo la proporción.

Answer 2

$A^t = A^{-1} = (\operatorname{cofactor}(A))^t $ implica $A = \operatorname{cofactor}(A)$ y no estoy seguro de por qué $A$ debe tener determinante $1$ . Parece que la conclusión es cierta para cualquier matriz ortogonal real.