Mapa de dualidad en espacios de Banach estrictamente convexos

Question

Diga $(B,\|\cdot\|)$ es un espacio de Banach de dimensión finita y estrictamente convexo. ¿Es cierto que el mapa $\phi:B^*\rightarrow B$ que toma un funcional lineal $f$ con $\|f\|=1$ en el único vector de norma unitaria $u$ tal que $f(u)=1$ es Lipschitz?

Answer 1

Hay $n$ -espacios de Banach para los que $\phi$ no es Lipschitz en todas las dimensiones $n\ge 2$ .

Basta con poner un ejemplo en la dimensión $2$ . Los ejemplos de mayor dimensión se obtienen girando los ejemplos de menor dimensión.

En la dimensión $2$ la norma requerida, en $\mathbb R^2$ puede ser dada por:

$$\|(x\ y)\| := (x^4+y^4)^{\frac 14}$$

(Estoy dispuesto a proporcionar los detalles si se me pide es un asunto sencillo).