Ejemplos de Banach $^*$ -algebras donde $^*$ no es una isometría

Question

Estoy leyendo sobre $C^*$ -y en el artículo de la Wiki (por ejemplo) sobre el tema se señala que la condición $||a^*a||=||a||^2$ implica que el $^*$ -involución es una isometría.

Pero, ¿cuáles son los ejemplos de Banach $^*$ -donde las $^*$ -¿la revolución no es una isometría? Aunque debe haber una razón por la que se observa en particular que la $C^*$ implica que $||a^*||=||a||$ No conozco ningún ejemplo de un Banach $^*$ -Álgebra $B$ donde $||a^*||\neq ||a||$ para algunos $a\in B$ .

Como pregunta extra, ¿cuáles son algunos ejemplos de Banach $^*$ -donde las $^*$ -es una isometría, pero la $C^*$ ¿la condición no se cumple?

Answer 1

Con respecto a la pregunta de la bonificación: Considere el álgebra de disco $A(\mathbb{D})$ (las funciones continuas en $\overline{\mathbb{D}}$ que son holomorfas en $\mathbb{D}$ dotado de la norma máxima $||\cdot||$ ) y establecer $$ f^\ast(z)=\overline{f(\overline{z})}. $$ Entonces $\ast$ es una involución. Es una isometría, pero para $f(z)=z+i$ tenemos $f^\ast(z)=z-i$ Por lo tanto $f^\ast (z)f(z)=z^2+1$ . Así, $||f^\ast f||= 2$ pero $||f||^2=4$ . También hay que tener en cuenta que $g(z)=z$ es autoadjunto con el espectro $\sigma(g)=\overline{\mathbb{D}}$ . Esto también demuestra que no tenemos $C^\ast$ -ya que en ese caso el espectro de un elemento autoadjunto tiene que ser real.

Edición: Con respecto a la pregunta de fondo: Consideremos el álgebra matricial $\mathbb{C}^{n\times n}$ dotado de la norma de suma de filas $||\cdot||_\infty$ . Se trata de un álgebra de Banach, ya que la norma de la suma de filas es una norma de operador. Sea $\ast$ sea la involución matricial habitual. Entonces $||A^\ast||_\infty = ||A||_1$ (con $||\cdot||_1$ la norma de la suma de columnas). Es fácil encontrar matrices con $||A||_1 \not= ||A||_\infty$ para aquellos $||A^\ast||_\infty \not= ||A||_\infty$ .