¿Cómo se definen los productos internos en un espacio vectorial?

Question

¿Cómo definen los matemáticos el producto interior en un espacio vectorial?

Por ejemplo: $a = (x_1,x_2)$ & $ b =(y_1,y_2) $ en $ \mathbb{R}^2.$

Definir $\langle a,b\rangle= x_1y_1-x_2y_1-x_1y_2+4x_2y_2$ . Es un producto interno.

Pero, ¿cómo se motiva este producto interno? Creo que hay algún tipo de multiplicación matricial entre algunos vectores.

Answer 1

La definición abstracta de un producto interior de vectores de valor real es una función $\langle \, , \rangle: \mathbb R^n \times \mathbb R^n \to \mathbb R$ que satisface los siguientes axiomas, donde $\alpha$ y $\beta$ son escalares y el $x$ y $y$ son vectores.

1. $\langle \alpha x_1 + \beta x_2, y \rangle = \alpha\langle x_1, y \rangle + \beta\langle x_2, y \rangle$
2. $\langle x, \alpha y_1 + \beta y_2 \rangle = \alpha\langle x, y_1 \rangle + \beta\langle x, y_2 \rangle$
3. $\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle$
4. $\langle x, x \rangle \geq 0$ y $\langle x, x \rangle = 0$ si y sólo si $x$ es el vector cero.

Las condiciones (1) y (2) nos dicen que un producto interior debe ser lineal en sus dos argumentos. Además, la condición (2) no es estrictamente necesaria, ya que las condiciones (1) y (3) la implican. Esta definición también se extiende a espacios vectoriales arbitrarios, no sólo sobre $\mathbb R$ .

Answer 2

Además de la respuesta de Benjamín, me gustaría llamar tu atención sobre esta forma de representar este producto interno en particular como un producto de matrices.

Nunca había visto ese producto interno y no se me ocurre en qué podría ser útil, pero puede ser útil para ti verlo escrito como una forma cuadrática: $$\langle a,b \rangle = \begin{bmatrix} x_1 & x_2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 4 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \end{bmatrix}= x_1y_1 -x_2y_1-x_1y_2 +4x_2y_2 $$

Answer 3

Toda matriz positiva-definida $M$ se asocia a un producto interno cuando se ve como una forma cuadrática. En este caso la matriz es $M=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&4\end{pmatrix}$ y el producto interior viene dado por $\langle x,y\rangle=x^TMy$ .

Answer 4

Producto interior $\langle u,v\rangle$ no depende de la elección de la base. En la base dada $\langle u,v \rangle =x^TMy$ .

Toda matriz simétrica real es diagonalizable ortogonalmente: $M=Q^TDQ$ y en las nuevas coordenadas "rotadas" $\langle u,v\rangle=x^TMy=x^TQ^TDQy=(Qx)^TD(Qy)=\tilde{x}^TD\tilde{y}$ .

La matriz diagonal $D$ consiste en los valores propios (positivos) de la matriz original $M$ . Aplicando una transformación de escala no uniforme se podrían utilizar las coordenadas escaladas para escribir un $\langle u,v\rangle=\hat{x}^T\hat{y}$ .