Interpretación geométrica de la identidad de Euler para funciones homogéneas

Question

Una función de $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ se llama homogénea de grado $d \geq 0$ si $$f(\lambda x_1, \ldots, \lambda x_n ) = \lambda^d f(x_1, \ldots, x_n)$$ Differentiating both sides with respect to $\lambda$ and then plugging in $\lambda=1$, obtenemos la siguiente igualdad: $$ \sum_{i=1}^n x_i \frac{ \partial f}{\partial x_i}(x_1, \ldots, x_n) = d \cdot f(x_1, \ldots, x_n) $$ Esta ecuación se denomina generalmente "de Euler identidad". Él siente que debe tener una limpia interpretación geométrica, pero estoy borrado sobre lo que podría ser.

Answer 1

Pensar en ello esféricas en coordenadas polares. Para cualquier $0\ne x\in \mathbb{R}^n$, escribir $$ x=r\omega, $$ donde$r=\lvert x\rvert$$\omega=x/\lvert x\rvert$. La homogeneidad de las $f$ da $$ f(r\omega)=r^d f(\omega),$$ (lo que significa que $f$ está determinada únicamente por su restricción a la unidad de la esfera y de la homogeneidad de grado $d$). Ahora aplicar el operador $$ x\cdot \nabla = r\frac{\partial}{\partial r}.$$

Answer 2

Mi forma de pensar acerca de esto es el uso exacto de los diferenciales como una analogía

$$df=\frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial f}{\partial x_1}dx_2+\cdots=\sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}dx_i----(1)$$

Una diferencial exacta es, básicamente, diciendo que el cambio total de una función es la suma de los cambios de cada argumento/componentes que forman parte de la función de veces la cantidad de cambios infinitesimales de cada uno de los argumentos.

Para Euler Homogénea Teorema de la Función, el LHS jugado un papel análogo de la Ecuación (1) $$ \sum_{i=1}^n x_i \frac{ \partial f}{\partial x_i}(x_1, \ldots, x_n) = d \cdot f(x_1, \ldots, x_n) $$

excepto que el grado d de la homogeneidad de la Función no es necesaria 1 (es decir, no sólo de 1er orden homogéneo funciones como las de la termodinámica, es decir, no sólo aditivo), de modo que se puede acabar algo así como la suma de los cambios es la d veces la misma función

(pensemos, por ejemplo para el caso d=2, por cada unidad de cambio en uno de los argumentos, su función se hizo más grande al cuadrado)

Tan geométricamente, así como en la ecuación (1) es decir que el cambio está representado por una tangente hyperplane de la función en un punto, Euler Homogénea teorema de la función está diciendo algo así como que cada componente de la función es igual a x^d de la curva de apilamiento de la cabeza a la cola, y el cambio general representado por la pila es d veces la altura original (valor de la función f)

No puede ser una rigurosa analogía, así enmiendas son bienvenidos

Answer 3

Me enfrento con este problema en Finsler la geometría, por lo tanto, mi punto de vista no puede lo que usted está buscando. Esto significa que en cualquier punto de $V=(x_1,\ldots,x_n) \in \mathbb{R}$ función de $f$ tiene una tasa de de aumentar la igualdad de a $d$ veces de su valor en $V$ si la dirección de aumentar también se $V$.

Especialmente cuando usted se mueve en un emanan rayos de origen va a ocurrir esto.