Solución para esta desigualdad $a^2 - 4b + 8 > 0$

Question

No sé en qué me he equivocado, esto es lo que he hecho:

Esta es la x aislada de una función $$x = \frac{1}{2}\biggl(\pm\sqrt{a^2 - 4 b + 8} - a - 4\biggr)$$

La raíz anterior debe ser positiva y mayor que $0$ para que una función pueda tener puntos de inflexión.

Así que: $a^2 - 4 b + 8 > 0$

$b$ aislado:

$b<\frac{1}{4}\ (a^2 + 8)$

Y $a$ aislado:

$a> \sqrt{4b-8}$

$b$ debe ser $\geq 2$ para que la raíz anterior pueda ser real

Teniendo esto en cuenta

si $a=1$

entonces $b<\frac{9}{4}\ $

Y aquí es donde no sé lo que está mal porque funciona incluso si uso $b$ valores superiores a $\frac{9}{4}\ $

Answer 1

Para garantizar que existen

$$\sqrt{a^2 - 4 b + 8}$$

tienes que poner

$$a^2 - 4 b + 8 \geq 0\implies a^2\geq4b-8$$

y considerar 2 casos

1. $$4b-8<0 \implies a^2\geq0>4b-8$$
2. $$4b-8\geq0 \implies -\sqrt{4b-8}\leq a^2\leq \sqrt{4b-8}$$

Para resolver $$x = \frac{1}{2}\biggl(\pm\sqrt{a^2 - 4 b + 8} - a - 4\biggr)>0 \iff\pm\sqrt{a^2 - 4 b + 8} - a - 4>0$$

Consideremos dos casos

CASO 1

$$\sqrt{a^2 - 4 b + 8} - a - 4>0 \implies\sqrt{a^2 - 4 b + 8}>a + 4$$

El sistema a resolver es

$$\begin{cases}\sqrt{a^2 - 4 b + 8}>a + 4\\ a^2 - 4 b + 8 \geq 0\end{cases}$$

Si:

$a+4<0$ sólo hay que comprobar que $a^2 - 4 b + 8 \geq 0$

$a+4\geq0$ puede cuadrar y el sistema se convierte en

$$\begin{cases}a^2 - 4 b + 8>a^2+8a + 16\\ a^2 - 4 b + 8 \geq 0\end{cases}\implies \begin{cases}2a+b+2<0\\ a^2 - 4 b + 8 \geq 0\end{cases}$$

CASO 2

$$-\sqrt{a^2 - 4 b + 8} - a - 4>0 \implies a+4<-\sqrt{a^2 - 4 b + 8}$$

El sistema a resolver es

$$\begin{cases}a+4<-\sqrt{a^2 - 4 b + 8}\\ a^2 - 4 b + 8 \geq 0\end{cases}$$

Si:

$a+4\geq0$ no hay soluciones

$a+4<0$ se puede cuadrar invirtiendo el signo y el sistema se convierte en

$$\begin{cases}a^2+8a + 16>a^2 - 4 b + 8\\ a^2 - 4 b + 8 \geq 0\end{cases}\implies \begin{cases}2a+b+2>0\\ a^2 - 4 b + 8 \geq 0\end{cases}$$

Answer 2

Trazar la parábola $y^2 = 4(x-2)$ . Ahora la ecuación denota la región fuera de la parábola. Esta es la solución general si es lo que querías.