Para garantizar que existen
$$\sqrt{a^2 - 4 b + 8} $$
tienes que poner
$$a^2 - 4 b + 8 \geq 0\implies a^2\geq4b-8$$
y considerar 2 casos
- $$4b-8<0 \implies a^2\geq0>4b-8$$
- $$4b-8\geq0 \implies -\sqrt{4b-8}\leq a^2\leq \sqrt{4b-8}$$
Para resolver $$x = \frac{1}{2}\biggl(\pm\sqrt{a^2 - 4 b + 8} - a - 4\biggr)>0 \iff\pm\sqrt{a^2 - 4 b + 8} - a - 4>0$$
Consideremos dos casos
CASO 1
$$\sqrt{a^2 - 4 b + 8} - a - 4>0 \implies\sqrt{a^2 - 4 b + 8}>a + 4$$
El sistema a resolver es
$$\begin{cases}\sqrt{a^2 - 4 b + 8}>a + 4\\ a^2 - 4 b + 8 \geq 0\end{cases}$$
Si:
$a+4<0$ sólo hay que comprobar que $a^2 - 4 b + 8 \geq 0$
$a+4\geq0$ puede cuadrar y el sistema se convierte en
$$\begin{cases}a^2 - 4 b + 8>a^2+8a + 16\\ a^2 - 4 b + 8 \geq 0\end{cases}\implies \begin{cases}2a+b+2<0\\ a^2 - 4 b + 8 \geq 0\end{cases}$$
CASO 2
$$-\sqrt{a^2 - 4 b + 8} - a - 4>0 \implies a+4<-\sqrt{a^2 - 4 b + 8}$$
El sistema a resolver es
$$\begin{cases}a+4<-\sqrt{a^2 - 4 b + 8}\\ a^2 - 4 b + 8 \geq 0\end{cases}$$
Si:
$a+4\geq0$ no hay soluciones
$a+4<0$ se puede cuadrar invirtiendo el signo y el sistema se convierte en
$$\begin{cases}a^2+8a + 16>a^2 - 4 b + 8\\ a^2 - 4 b + 8 \geq 0\end{cases}\implies \begin{cases}2a+b+2>0\\ a^2 - 4 b + 8 \geq 0\end{cases}$$
