La afirmación de la "edición 2" me pareció difícil de probar y espero que tengas éxito al usarla en el resto de tu prueba. Voy a esbozar una prueba de la desigualdad en la edición 2: $$ \text{erfc}^2(x) \ge \text{erfc}(x(1+d))\cdot \text{erfc}(x(1-d)), \quad |d|<1 $$
En un documento sobre las funciones gamma incompletas existe la fórmula $$\gamma(a,t)\gamma(b,s) = \int_0^{\tfrac{t}{t+s}}\gamma(a+b,s/(1-w))w^{a-1}(1-w)^{b-1}dw \quad + $$ $$+ \int_{\tfrac{t}{t+s}}^1\gamma(a+b,t/w)w^{a-1}(1-w)^{b-1} dw$$ Esto es relevante porque para el primer argumento = 1/2, la función gamma incompleta se reduce a una función de error. Así tenemos una relación de producto representada como una integral, y podemos esperar derivar la desigualdad mirando el integrando. No uso exactamente la fórmula anterior porque queremos erfc(), no erf(). Utilizando el hecho de que $\gamma(1,x)=1-e^{-x},$ el "1" de la suma de los dos "1/2", no es difícil demostrar $$\pi\,\text{erfc}(\sqrt{t}) \text{erfc}(\sqrt{s})= \int_0^{\tfrac{s}{t+s}} e^{-s/w}\frac{dw}{\sqrt{w(1-w)}} +\int_0^{\tfrac{t}{t+s}} e^{-t/w}\frac{dw}{\sqrt{w(1-w)}}$$
Obviamente, ahora vamos a pegar en $t=s=x^2,$ y $t=x^2(1+d)^2, s=x^2(1-d)^2.$ Haciendo esto, y mediante el escalado de las integrales y algo de álgebra obtenemos la expresión trazable
$$\pi\,\big(\text{erfc}^2(x) -\text{erfc}(x(1+d))\cdot \text{erfc}(x(1-d)) \big)$$ $$= \int_{0}^{1/2}\dfrac{e^{-x^2/w}}{\sqrt{w}}\Big(\frac{2}{\sqrt{1-w}} - e^{-(x\,d)^2/w} \Big( \big(\frac{1+d^2}{(1+d)^2} - w\big)^{-1/2} + \big(\frac{1+d^2}{(1-d)^2} - w\big)^{-1/2} \Big) dw $$ $$= 4\int_{0}^{1/\sqrt{2}}e^{-x^2/u^2}\underbrace{\Big(\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} - \dfrac{e^{-(x\,d)^2/u^2}}{2} \Big( \big(\frac{1+d^2}{(1+d)^2} - u^2\big)^{-1/2} + \big(\frac{1+d^2}{(1-d)^2} - u^2 \big)^{-1/2} \Big)}_{} du $$ $$ \quad\quad\quad\quad\quad :=h(u; x,d) $$ El objetivo es mostrar $h(u; x,d)>0$ para $x\ge 0$ , $|d|<1$ , $u<0<1/\sqrt{2}.$ El gráfico siguiente tiene cuatro curvas en función de $u$ y para $d=0.4.$ El azul es para $1/\sqrt{1-u^2}$ y el rojo para $$g(u; d)=\frac{1}{2}\Big( \big(\frac{1+d^2}{(1+d)^2} - u^2\big)^{-1/2} + \big(\frac{1+d^2}{(1-d)^2} - u^2 \big)^{-1/2} \Big) $$ Al examinar sólo el rojo y el azul, es como si $x=0.$ La integral es idénticamente 0 y eso significa que el área entre las curvas azul y roja es idénticamente cero. Por supuesto, como la curva roja está por debajo de la azul hasta aproximadamente $u=1/2,$ debe superarlo más allá de ese punto. Las curvas punteadas son las que se producen cuando el $x$ se pone en juego el parámetro En ambos casos hay una caída en el origen, pero las curvas punteadas se acercan a la curva roja de la derecha. La curva punteada negra es para un $x$ que para la curva punteada verde. Como $x \to 0,$ la depresión en el origen se convierte en un pico estrecho y para más del rango de $u$ se alineará más con la curva roja.
A simple vista se ve que los cruces de las curvas punteadas con la curva azul están a la derecha de la intersección de la curva roja y la azul. Eso es una buena noticia porque entonces no hay manera de tener más "área negativa" que lo que ocurrió en el análisis azul-rojo. Como siempre habrá una depresión en el origen para $x>0$ lo que significa que habrá un área neta positiva. Por lo tanto, para demostrar la desigualdad sólo tenemos que demostrar lo que podemos ver a ojo en el caso $x \to 0.$
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La intersección entre el rojo y el azul se puede aproximar mediante (utilizar $w=u^2$ ) $$\frac{1}{\sqrt{1-w} } = g(\sqrt{w};d) = \frac{1}{\sqrt{1-w}} + \frac{(4w-1)d^2}{2(1-w)^{5/2}} \, + \, ...$$ donde se hace una ampliación ya que $d<1.$ En realidad, también tomo el siguiente término, obtengo una ecuación cúbica, la resuelvo explícitamente y expando la raíz apropiada para los pequeños $d,$ obteniendo, $$ x=0 \text{ intersection: } w_0 \sim \frac{1}{4} + \frac{d^2}{9} $$ Haciendo el mismo procedimiento para las pequeñas $x$ utilizando la aproximación lineal de la serie de Taylor de $\exp{(-(x\,d)^2/w)},$ se puede derivar una ecuación que implique $x.$ La raíz de lo pequeño $x$ y $d$ es $$ x>0 \text{ intersection: } w_0 \sim \frac{1}{4} + \frac{d^2}{9} +\big(\frac{9}{8}d + \frac{d^2}{4}\big)x^2$$ El último término es positivo, por lo que hemos comprobado que lo que esperábamos en la inspección visual se mantiene como $x \to 0.$
