Advertencia: Voy a utilizar el "pre $\lambda$ -anillo" y " $\lambda$ -anillo", en contraposición a la nomenclatura " $\lambda$ -anillo" y "especial $\lambda$ -anillo" uno (aunque acabo de utilizar este último hace unos días en MO). Es principalmente porque ambas fuentes lo usan, y yo (leyéndolos) me estoy acostumbrando poco a poco.
Dejemos que $G$ sea un grupo finito. El Anillo Burnside $B\left(G\right)$ se define como el anillo de Grothendieck de la categoría de finitos $G$ -con la multiplicación definida por el producto cartesiano (con estructura diagonal, o al menos tengo dificultades para imaginar cualquier otra $G$ -(por favor, corrígeme si me equivoco).
Por cada $n\in\mathbb{N}$ podemos definir un mapa $\sigma^n:B\left(G\right)\to B\left(G\right)$ de la siguiente manera: Siempre que $U$ es un $G$ -set, dejamos que $\sigma^n U$ sea el conjunto de todos los conjuntos múltiples de tamaño $n$ compuesto por elementos de $U$ . El $G$ -poner la estructura en $\sigma^n U$ es lo que los programadores llaman "mapa": un elemento $g\in G$ se aplica a cada elemento del multiconjunto. De esta manera hemos definido $\sigma^n U$ por cada $G$ -Configurar $U$ ; extendemos el mapa $\sigma^n$ a todos los $B\left(G\right)$ (incluida la "virtual") $G$ -) forzando la regla
$\displaystyle \sigma^i\left(u+v\right)=\sum_{k=0}^i\sigma^k\left(u\right)\sigma^{i-k}\left(v\right)$ para todos $u,v\in B\left(G\right)$ .
Ah, y $\sigma^0$ debe ser idéntico $1$ y $\sigma^1=\mathrm{id}$ . De todos modos, esto funciona, y da un "pre $\sigma$ -estructura anular", que es básicamente lo mismo que una estructura pre $\lambda$ -estructura anular, con $\lambda^i$ denotado por $\sigma^i$ . Ahora, giramos este pre $\sigma$ -anillo en un pre $\lambda$ -anillo mediante la definición de mapas $\lambda^i:B\left(G\right)\to B\left(G\right)$ por
$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\sigma^n\left(u\right)T^n\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\left(-1\right)^n\lambda^n\left(u\right)T^n=1$ en $B\left(G\right)\left[\left[T\right]\right]$ por cada $u\in B\left(G\right)$ .
Ahora, permítanme citar dos fuentes:
Donald Knutson, $\lambda$ -Anillos y la teoría de la representación del grupo simétrico 1973, p. 107: "El hecho de que $B\left(G\right)$ es un $\lambda$ -anillo y no sólo un pre $\lambda$ -anillo -es decir, la verdad de todas las identidades- se desprende de [...]"
Michiel Hazewinkel, Vectores Witt, parte 1 19.46: "Parece claro a partir de [370] que no hay una buena manera de definir un $\lambda$ -en anillos Burnside, véase también [158]. Hay (al menos) dos opciones diferentes que dan pre $\lambda$ -pero ninguno de los dos está garantizado para producir un $\lambda$ -Anillo. De los dos, la construcción de potencia simétrica parece funcionar mejor". (No, no tengo acceso a ninguna de estas referencias).
Durante mucho tiempo me pareció evidente la afirmación de Knutson (incluso sin haber leído tan lejos en Knutson). Ahora tiendo a creer más en la posición de Hazewinkel, sobre todo porque no soy capaz de verificar una de las relaciones requeridas para un pre $\lambda$ -ser un anillo para ser un $\lambda$ -Anillo:
$\lambda^2\left(uv\right)=\left(\lambda^1\left(u\right)\right)^2\lambda^2\left(v\right)+\left(\lambda^1\left(v\right)\right)^2\lambda^2\left(u\right)-2\lambda^2\left(u\right)\lambda^2\left(v\right)$ para $B\left(G\right)$ .
Lo que también me molesta es la "conjetura" de Knutson en la p. 113, que afirma que el mapa canónico (Burnside) $B\left(G\right)\to SCF\left(G\right)$ es un $\lambda$ -homorfismo, donde $SCF\left(G\right)$ denota el $\lambda$ -anillo de super personajes en $G$ con el $\lambda$ -estructura definida a través de las operaciones Adams $\Psi^n\left(\varphi\left(H\right)\right)=\varphi\left(H^n\right)$ (Creo que quería decir $\left(\Psi^n\left(\varphi\right)\right)\left(H\right)=\varphi\left(H^n\right)$ en su lugar) para cada subgrupo $H$ de $G$ , donde $H^n$ es el subgrupo de $G$ generado por el $n$ -potencias de elementos de $H$ . Esto me parece mal para $n=2$ y $H=\left(\mathbb Z / 2\mathbb Z\right)^2$ ya. Y si el anillo $B\left(G\right)$ no es un $\lambda$ -entonces esta conjetura es errónea de todos modos (ya que el mapa $B\left(G\right)\to SCF\left(G\right)$ es inyectiva).
¿Puede alguien aclarar este lío? Estoy realmente confundido...
Muchas gracias.
