Niño nacido en martes: ¿es sólo un truco de lenguaje?

Question

La siguiente pregunta sobre la probabilidad apareció en un hilo anterior :

Tengo dos hijos. Uno es un niño que nació un martes. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga dos niños?

La afirmación era que en realidad no es un problema matemático y que sólo es un problema de lenguaje.

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Si se quisiera replantear este problema formalmente la manera obvia sería así:

Definición : Sexo se define como un elemento del conjunto $\\{\text{boy},\text{girl}\\}$ .

Definición : Cumpleaños se define como un elemento del conjunto $\\{\text{Monday},\text{Tuesday},\text{Wednesday},\text{Thursday},\text{Friday},\text{Saturday},\text{Sunday}\\}$

Definición : A Niño se define como un par ordenado: (sexo $\times$ cumpleaños).

Dejemos que $(x,y)$ ser un par de niños,

Definir un predicado auxiliar $H(s,b) :\\!\\!\iff s = \text{boy} \text{ and } b = \text{Tuesday}$ .

Calcular $P(x \text{ is a boy and } y \text{ is a boy}|H(x) \text{ or } H(y))$

No veo otra forma sensata de formalizar esta cuestión.

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Resolver este problema ahora no requiere pensar (de hecho, es el pensamiento lo que nos lleva a adivinar respuestas incorrectas), simplemente calculamos

$$ \begin{align*} & P(x \text{ is a boy and } y \text{ is a boy}|H(x) \text{ or } H(y)) \\\\ =& \frac{P(x\text{ is a boy and }y\text{ is a boy and }(H(x)\text{ or }H(y)))} {P(H(x)\text{ or }H(y))} \\\\ =& \frac{P((x\text{ is a boy and }y\text{ is a boy and }H(x))\text{ or }(x\text{ is a boy and }y\text{ is a boy and }H(y)))} {P(H(x)) + P(H(y)) - P(H(x))P(H(y))} \\\\ =& \frac{\begin{align*} &P(x\text{ is a boy and }y\text{ is a boy and }x\text{ born on Tuesday}) \\\\ + &P(x\text{ is a boy and }y\text{ is a boy and }y\text{ born on Tuesday}) \\\\ - &P(x\text{ is a boy and }y\text{ is a boy and }x\text{ born on Tuesday and }y\text{ born on Tuesday}) \\\\ \end{align*}} {P(H(x)) + P(H(y)) - P(H(x))P(H(y))} \\\\ =& \frac{1/2 \cdot 1/2 \cdot 1/7 + 1/2 \cdot 1/2 \cdot 1/7 - 1/2 \cdot 1/2 \cdot 1/7 \cdot 1/7} {1/2 \cdot 1/7 + 1/2 \cdot 1/7 - 1/2 \cdot 1/7 \cdot 1/2 \cdot 1/7} \\\\ =& 13/27 \end{align*} $$

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Ahora bien, lo que me pregunto es si esto refuta la afirmación de que este rompecabezas es sólo un problema lingüístico, o si lo refuerza. ¿Había mucho espacio para malinterpretar las preguntas que se me pasó por alto?

Answer 1

Bueno, dada la suposición no declarada de que el escritor es un matemático y, por lo tanto, no utiliza un inglés normal, entonces estoy de acuerdo con la respuesta 13/27.

Pero en el inglés cotidiano, de "there are two fleems, one is a glarp" todos deducimos que el otro no es un glarp.

De "hay dos fleems, uno es un glarp, que es snibble" seguiríamos deduciendo que el otro no es un glarp. Mientras que de "hay dos fleems, uno es un glarp que es snibble" (ausencia de coma, o cuando se habla, diferencia de entonación) deduciríamos que el otro no es un glarp snibble, pero aún podría ser un glarp no snibble.

Answer 2

Siempre hay margen para malinterpretar una pregunta cuando no se entiende bien el idioma en el que está escrita. Creo que la forma en que las matemáticas y los matemáticos utilizan la probabilidad condicional es clara:

$$P(A|B)=P(A \cap B)/P(B).$$

Así que creo que esta es la interpretación que hay que tomar, y así llegar a tu respuesta de 13/27, y no buscar más matices, que no son muy difíciles de encontrar.

Answer 3

Por eso, en mi opinión, falla el enfoque intuitivo:

Se tiende a pensar que la probabilidad de 7*P(b Y d1) = P(b Y d1) + P(b Y d2) + ... + P(b Y d7) = P((b Y d1) O (b Y d2) O ... OR (b AND d7)) = P(b AND (d1 OR d2 OR ... OR d7)) = P(b).

Sin embargo, el fallo aquí es que, en realidad, P(b Y d1) + P(b Y d2) + ... + P(b AND d7) NO es igual a P((b AND d1) OR (b AND d2) OR ... OR (b AND d7)). Esto significa que la mención de información independiente (y podríamos pensar que irrelevante) junto con la información relevante realmente cambia las probabilidades resultantes.

Una consecuencia interesante: si digo algo como "Tengo dos hijos. Uno de ellos es un niño que nació a las 22:24 del 10 de febrero". La probabilidad de que tenga dos niños es ahora casi exactamente la misma que la probabilidad de que tenga una niña y un niño. Añadir un dato único o casi único hace que lo que quiero saber sobre el otro hijo sea independiente de la información que tengo sobre el primero. Si llevo esto al extremo y digo que tengo un primogénito varón, no sabré nada adicional sobre el otro hijo.

Answer 4

La respuesta MUY simple es que puedes deshacerte de toda ambigüedad si puedes aclarar de qué piscina el padre fue elegido. Esto permite replantear la pregunta de "probabilidad" como una pregunta de "porcentaje", tomando porcentajes idealizados.

Considera:

Dado un padre seleccionado al azar del conjunto de todos los padres que tienen dos hijos en los que al menos uno de ellos es un niño nacido el martes, ¿cuál es la probabilidad de que ambos niños sean varones?

Esto se puede plantear como una pregunta porcentual:

¿Qué porcentaje de (padres que tienen dos hijos en los que al menos uno de ellos es un niño nacido el martes) tienen dos niños?

Por el contrario, si el día fuera una cuestión de azar (no una restricción en el tamaño de la piscina), tenemos una pregunta diferente:

Dado un padre seleccionado al azar de entre todos los padres que tienen dos hijos de los cuales al menos uno es varón, donde después de la selección aleatoria se nos dirá el día de la semana en que nació el varón (si sólo hay un varón) o si hay dos varones se nos dirá el día de la semana en que nació uno de los dos varones elegido al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ambos hijos sean varones si el día que se nos dice es martes?

Como puede ver, en esta configuración la parte "martes" no tiene absolutamente ninguna influencia en el proceso de selección, y puede ser totalmente ignorada.

Esto es lo que se entiende por Declaración de Wikipedia :

La moraleja es que estas probabilidades no sólo dependen de la información conocida, sino de cómo se ha obtenido esa información.

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Como nota adicional, no se puede "demostrar" nada sobre el significado "real" utilizando simulaciones por ordenador, porque para programar una simulación por ordenador en primer lugar hay que desambiguar primero de qué escenario se está hablando realmente. Así que lo único que puede "demostrar" una simulación por ordenador es cómo interpretó la pregunta el programador.

Answer 5

El $13/27\approx 0.481$ La respuesta es un interesante resultado contraintuitivo. Aquí doy una explicación intuitiva (que no creo que se haya dado en las respuestas anteriores):

Intuición de por qué es entre $0.333$ y $0.5$ :

Podemos distinguir a los dos hijos por primogénito y por segundón. Si te digo que el primogénito es un niño, no te dice nada sobre el segundo nacido, así que las posibilidades de que el segundo nacido sea un niño son $0.5$ .

Si sabemos que uno nació el martes, podemos distinguir "aproximadamente" a los dos niños por "nacidos el martes" y "no nacidos el martes" (con una pequeña probabilidad de que ambos hayan nacido el martes). Así que la respuesta es "casi" $0.5$ ya que es similar a distinguir entre primogénito y segundón. Esta es la intuición por la que la probabilidad cambia de $0.333$ a $0.481$ basado en la información del martes (pero no llega hasta $0.5$ ).

Derivación formal de $13/27$

No entendí el $H(x)$ La notación dada por el OP así que simplemente reescribo el argumento en notación estándar. Sea $B_1, B_2$ ser eventos que el primogénito y el segundón sean varones, respectivamente. Sea $T_1, T_2$ ser eventos que el primogénito y el segundón fueron el martes, respectivamente. Para los eventos $A, B$ definimos $AB=A \cap B$ .

\begin{align} P[B_1B_2 | B_1 T_1 \cup B_2 T_2]&=\frac{P[B_1 B_2(B_1 T_1 \cup B_2T_2)]}{P[B_1T_1 \cup B_2 T_2]}\\ &=\frac{P[B_1B_2T_1 \cup B_1B_2T_2]}{P[B_1T_1 \cup B_2 T_2]}\\ &=\frac{P[B_1B_2T_1]+P[B_1B_2T_2]- P[B_1B_2T_1T_2]}{P[B_1T_1] + P[B_2T_2] - P[B_1B_2T_1T_2]}\\ &=\frac{(1/2)^2(1/7) + (1/2)^2(1/7) - (1/2)^2(1/7)^2}{(1/2)(1/7) + (1/2)(1/7)-(1/2)^2(1/7)^2} = \frac{13}{27} \end{align} donde la última línea asume la independencia y la uniformidad sobre chico/chica y días de la semana.

Por supuesto, sin la información del martes tenemos $$ P[B_1B_2|B_1 \cup B_2] = \frac{P[B_1B_2]}{P[B_1\cup B_2]} = \frac{1}{3}$$