Niño nacido en martes: ¿es sólo un truco de lenguaje?

Question

La siguiente pregunta sobre la probabilidad apareció en un hilo anterior :

Tengo dos hijos. Uno es un niño que nació un martes. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga dos niños?

La afirmación era que en realidad no es un problema matemático y que sólo es un problema de lenguaje.

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Si se quisiera replantear este problema formalmente la manera obvia sería así:

Definición : Sexo se define como un elemento del conjunto $\\{\text{boy},\text{girl}\\}$ .

Definición : Cumpleaños se define como un elemento del conjunto $\\{\text{Monday},\text{Tuesday},\text{Wednesday},\text{Thursday},\text{Friday},\text{Saturday},\text{Sunday}\\}$

Definición : A Niño se define como un par ordenado: (sexo $\times$ cumpleaños).

Dejemos que $(x,y)$ ser un par de niños,

Definir un predicado auxiliar $H(s,b) :\\!\\!\iff s = \text{boy} \text{ and } b = \text{Tuesday}$ .

Calcular $P(x \text{ is a boy and } y \text{ is a boy}|H(x) \text{ or } H(y))$

No veo otra forma sensata de formalizar esta cuestión.

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Resolver este problema ahora no requiere pensar (de hecho, es el pensamiento lo que nos lleva a adivinar respuestas incorrectas), simplemente calculamos

$$ \begin{align*} & P(x \text{ is a boy and } y \text{ is a boy}|H(x) \text{ or } H(y)) \\\\ =& \frac{P(x\text{ is a boy and }y\text{ is a boy and }(H(x)\text{ or }H(y)))} {P(H(x)\text{ or }H(y))} \\\\ =& \frac{P((x\text{ is a boy and }y\text{ is a boy and }H(x))\text{ or }(x\text{ is a boy and }y\text{ is a boy and }H(y)))} {P(H(x)) + P(H(y)) - P(H(x))P(H(y))} \\\\ =& \frac{\begin{align*} &P(x\text{ is a boy and }y\text{ is a boy and }x\text{ born on Tuesday}) \\\\ + &P(x\text{ is a boy and }y\text{ is a boy and }y\text{ born on Tuesday}) \\\\ - &P(x\text{ is a boy and }y\text{ is a boy and }x\text{ born on Tuesday and }y\text{ born on Tuesday}) \\\\ \end{align*}} {P(H(x)) + P(H(y)) - P(H(x))P(H(y))} \\\\ =& \frac{1/2 \cdot 1/2 \cdot 1/7 + 1/2 \cdot 1/2 \cdot 1/7 - 1/2 \cdot 1/2 \cdot 1/7 \cdot 1/7} {1/2 \cdot 1/7 + 1/2 \cdot 1/7 - 1/2 \cdot 1/7 \cdot 1/2 \cdot 1/7} \\\\ =& 13/27 \end{align*} $$

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Ahora bien, lo que me pregunto es si esto refuta la afirmación de que este rompecabezas es sólo un problema lingüístico, o si lo refuerza. ¿Había mucho espacio para malinterpretar las preguntas que se me pasó por alto?

Answer 1

Hay aspectos aún más complicados en esta cuestión. Por ejemplo, ¿cuál es la estrategia del chico al hablarte de su familia? Si siempre menciona primero a un niño y no a una hija, obtenemos una probabilidad; si habla del sexo del primogénito, obtenemos una probabilidad diferente. Tu cálculo hace una elección en esta cuestión: eliges la versión de "si el padre tiene un niño y una niña, mencionará al niño".

Lo que pretendo es lo siguiente: la cuestión no está bien definida matemáticamente. Tiene varias interpretaciones posibles, y como tal el "problema" aquí es efectivamente del lenguaje; o más correctamente, el hecho de que un simple enunciado en inglés no transmite suficiente información para especificar el modelo preciso para el problema.

Veamos una versión simplificada sin días. El espacio de probabilidad para la composición de la familia es {BB, GB, BG, GG} (GB significa "una niña mayor y un niño pequeño", etc). Queremos saber cuál es $P(BB|A)$ donde A viene determinado por la forma en que interpretamos la declaración sobre los chicos. Ahora veamos diferentes interpretaciones posibles.

1) Si hay un niño en la familia, la declaración lo mencionará. En este caso A={BB,BG,GB} y por tanto la probabilidad es $1/3$ .

2) Si hay una niña en la familia, la declaración la mencionará. En este caso, como el enunciado hablaba de un chico, NO hay chicas en la familia. Por tanto, A={BB} y la probabilidad es 1.

3) La declaración habla del sexo del primogénito. En este caso A={BB,BG} y por tanto la probabilidad es $1/2$ .

El resultado final: La afirmación sobre la familia nos parece "constante", pero hay que mirarla como una función a partir del estado aleatorio de la familia - y hay varias funciones posibles, de las cuales hay que elegir una, de lo contrario ningún análisis probabilístico de la situación tendrá sentido.

Answer 2

En realidad es imposible tener una respuesta única e inequívoca al enigma sin articular explícitamente un modelo de probabilidad sobre cómo se genera la información sobre el género y la fecha de nacimiento. La razón es que (1) para que el problema tenga una respuesta única se requiere algún proceso aleatorio, y (2) la respuesta está en función del modelo aleatorio que se utilice.

1. El problema supone que se puede deducir una probabilidad única como respuesta. Esto requiere que el conjunto de niños descrito sea elegido por un proceso aleatorio, de lo contrario el número de niños es una cantidad determinista y la probabilidad sería 0 o 1 pero sin poder determinar cuál es el caso. De forma más general, se pueden considerar procesos aleatorios que produzcan el conjunto completo de información al que se refiere el problema: elegir un progenitor y, a continuación, elegir qué revelar sobre el número, el sexo y los días de nacimiento de sus hijos.

2. La respuesta depende del proceso aleatorio que se utilice. Si el nacimiento del martes se revela sólo cuando hay dos niños, la probabilidad de que haya dos niños es 1. Si el nacimiento del martes se revela sólo cuando hay una hermana, la probabilidad de que haya dos niños es 0. La respuesta podría ser cualquier número entre 0 o 1 dependiendo de qué proceso se suponga que produce los datos.

También hay una cuestión lingüística de cómo interpretar "uno es un niño nacido el martes". Podría significar que el número de varones nacidos en martes es exactamente uno, o al menos un niño.

Answer 3

Esto se discute también en http://johncarlosbaez.wordpress.com/2010/08/24/probability-puzzles-from-egan/#comment-1313

Answer 4

Supongo que las dos siguientes versiones de formular la pregunta arrojan dos probabilidades diferentes:

1. Dave tiene dos hijos. ¿Al menos uno de ellos es un niño que nace el martes? Dave responde que sí.

2. Dave tiene dos hijos. Le pido que primero elija y fije un hijo al azar, y me diga si es un niño que nació el martes. Dave responde que sí, que es un niño nacido el martes.

Para el primero la probabilidad (de que ambos sean chicos) es de 13/27, mientras que para el segundo la probabilidad es de 1/2.

Por la forma en que está planteada la pregunta, coincide con la 1ª, por lo que la respuesta debería ser 13/27.

Answer 5

El martes es una pista falsa. Se afirma como un hecho, por lo que la probabilidad es 1. Además, no dice " sólo un niño nace en martes". Pero, en efecto, podría tratarse de una cuestión lingüística.

Con 2 niños tienes las siguientes combinaciones posibles:
1. dos chicas
2. un niño y una niña
3. una niña y un niño
4. dos niños

Si al menos 1 es un chico sólo tenemos que considerar las tres últimas combinaciones. Eso nos da uno de cada tres que ambos son niños.
El error que se comete a menudo es considerar 2. y 3. como una única combinación.

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Me parece totalmente contrario a la intuición que el resultado esté influenciado por el día, y simulé el problema para un millón de familias con 2 hijos. Y he aquí que el resultado es 12,99 en 27. Estaba equivocado.