Identidad en la suma de Fourier

Question

Supongamos la siguiente serie: \begin{eqnarray} \sum_{k'}k'f_{k'} \end{eqnarray} donde $f_{k'}$ son unos coeficientes de Fourier que resultan de una función periódica $f(t+T)=f(t)$ : \begin{eqnarray} f_{k'}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}dt e^{ik'2\pi t/T}f(t). \end{eqnarray} ¿Es cierto entonces que: \begin{eqnarray} \sum_{k'}k'f_{k'}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}dt e^{ik'2\pi t/T}f(t)\left(\sum_{k'}k'e^{ik'2\pi t/T}\right)=0, \end{eqnarray} es decir, dado que: \begin{eqnarray} g(t)=\left(\sum_{k'}k'e^{ik'2\pi t/T}\right)=2i\sum_{k'=1}^{+\infty}k'\sin(2\pi k' t/T)=0 \end{eqnarray} ¿Es correcta la identidad anterior?

EDITAR: Wolfram Alpha da una respuesta errónea para la suma $g(t)$ . Así que me gustaría saber cómo determinar $g(t)$ en forma cerrada, si es posible.

Answer 1

Si $f$ es suave entonces modulo alguna constante $$\sum_{k'}k'f_{k'}=cf'(0).$$

Así que su pregunta principal equivale a preguntar si $$f'(0)=0$$ es válida para cualquier solución periódica $f$ .

Editar: Así que ahora queremos saber qué distribución tiene la serie $\sum ke^{ikt}$ converge a. Esto resulta ser muy fácil. Voy a aprovechar la Convención de Littlewood, en el sentido de que $2\pi=1$ ; es posible que quieras limpiar lo siguiente, insertando las constantes que faltan:

$\newcommand\D{\mathcal D}$ $\newcommand\T{\Bbb T}$ $\newcommand{\ip}[2]{\langle #1,#2\rangle}$

Lema La serie $\sum_{k\in\Bbb Z}e^{ikt}$ converge a $\delta_0$ en la topología (débil) de $\D'(\T)$ .

Prueba. Digamos que $s_n=\sum_{|k|\le n}$ . Si $\phi\in\D(\T)$ entonces $$\ip{s_n}\phi=\sum_{|k|\le n}\widehat \phi(k)\to \phi(0)=\ip{\delta_0}\phi,\quad(n\to\infty)$$ que es exactamente lo que significa decir $s_n\to\delta_0$ en $\D'(\T)$ .

Y ahora como la diferenciación es continua en $\D'(\T)$ se deduce que $$i\sum_{k\in\Bbb Z}ke^{ikt}=\delta_0',$$ donde por definición $$\ip{\delta_0'}\phi=-\phi'(0).$$

Answer 2

Ampliando un poco la respuesta de @DavidCUllrich: ... por cierto, usando $k'$ como índice sumatorio es un poco confuso (en el contexto de la práctica habitual) cuando no hay $k$ sin el primer... Especialmente peligroso si/cuando los derivados pueden estar involucrados.

Así que, revisando un poco la notación, primero, tenemos $f(x)=\sum_{k\in\mathbb Z} \widehat{f}(k)\,e^{2\pi ikx}$ bajo varias hipótesis sobre la periodicidad $f$ .

En circunstancias en las que es legítimo diferenciar los términos (por ejemplo, para una $f$ o interpretando el sumatorio como convergente en un espacio de Sobolev...) $$ f'(x) \;=\; 2\pi i\cdot \sum_k k\cdot \widehat{f}(k)\cdot e^{2\pi ikx} $$ Entonces, si esto tuviera un sentido de convergencia puntual, $$ \sum_k k\cdot \widehat{f}(k) \;=\; {f'(0)\over 2\pi i} $$ como en la respuesta de @DavidC.Ullrich. De nuevo, la elección de la notación distrae considerablemente... :)

EDIT: No puedo hablar del razonamiento de ningún sistema de software sobre por qué $\sum_k k\cdot e^{2\pi ikx}=0$ (ni en qué sentido se afirma esto), sino que es es cierto que $\sum_k 1\cdot e^{2\pi ikx}$ es una expansión en serie de Fourier del delta periódico de Dirac, el peine de Dirac. Por supuesto, esto no converge puntualmente en cualquier lugar, pero sí converge (de forma significativa y útil) en un espacio de Sobolev.

La derivada distributiva es efectivamente $2\pi i\sum_k k\cdot e^{2\pi ikx}$ y esto es absolutamente correcto en un espacio de Sobolev, y la diferenciación es igualmente correcta, si se interpreta correctamente.

Dado que la derivada (distributiva) del peine de Dirac es localmente $0$ lejos de los números enteros, podríamos decidir decir que la serie de Fourier correspondiente es $0$ de los números enteros... y como la derivada (distributiva) es localmente $0$ lejos de los enteros, también podríamos decir que la serie de Fourier para la derivada es $0$ allí (aunque no converge puntualmente en absoluto, sólo en un espacio de Sobolev).