Dejemos que $x$ y $y$ sean dos números reales positivos. ¿Cuál es el valor medio de la función $\log$ en $y$ enteros friables menores que $x$ es decir, el valor de la siguiente suma $$\sum_{\substack{n \leq x \\ P(n)\leq y}} \log(n),$$ donde $P(n)$ es el mayor factor primo de $n.$ Gracias de antemano.
Respuesta
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rouchi
Puntos
1
De La Breteche y Tenenbaum establecieron en su artículo Propiedades estadísticas de los enteros frágiles". la fórmula asintótica de la suma anterior. La encuentran como un corolario; Uniformemente para $2 \leq y \leq x,$ tenemos $$\sum_{\substack{n \leq x \\ P(n)\leq y}} \log(n)=\left\{\log(x)-\frac{\log(y)+O(\log\log(y))}{\log\left(1+\frac{y}{\log(x)}\right)} \right\}\Psi(x,y),$$ donde $\Psi(x,y)$ es el número de enteros friables menores que $x$ cuyos mayores factores primos son menores que $y.$
