Explica esta desigualdad, relacionada con los logaritmos

Question

Estoy tratando de entender una prueba de la fórmula de Stirling.

Una parte de la prueba afirma que "Como la función logarítmica es creciente en el intervalo $(0,\infty)$ obtenemos $$\int_{n-1}^{n} \log(x) dx < \log(n) < \int_{n}^{n+1} \log(x) dx$$ para $n\geq 1$ .'

Por favor, ¿podría explicar por qué esto es cierto? En particular, me cuesta visualizar esta desigualdad de forma gráfica/geométrica.

Answer 1

$$\int_{n-1}^n\log(x) dx<\int_{n-1}^{n}\log( n) dx=\log(n)$$ utilizando $\log(n)>\log(x)$ para $n-1\leq x<n$ . De la misma manera: $$\int_n^{n+1}\log(x)dx>\int_n^{n+1}\log(n)dx=\log(n)$$

Answer 2

Esto se debe a que en $[n-1,n]$ tenemos $\,\ln x<\ln n\,$ excepto en el punto final por lo que por la propiedad de monotonicidad de la integral: $$\int_{n-1}^n \ln x,\mathrm d\mkern1.5mux<\ln n\,[n-(n-1)]=\ln n.$$ Lo mismo ocurre con la otra desigualdad.

Answer 3

Dejemos que $f$ sea una función continua estrictamente creciente en el intervalo $[a,b]$ (con $a<b$ . Entonces, para $x\in[a,b]$ tenemos $f(x)\le f(b)$ . Por lo tanto, $$ \int_{a}^{b}f(x)\,dx\le (b-a)f(b) $$ porque $f(b)$ es el máximo de $f$ en el intervalo. La igualdad significaría $$ \int_{a}^{b}(f(b)-f(x))\,dx=0 $$ y, como $g(x)=f(b)-f(x)$ es una función continua no negativa, esto implica que $f(x)=f(b)$ para todos $x$ , por lo que la función es constante. Esto es imposible si $f$ es estrictamente creciente. Así, $$ \int_{a}^{b}f(x)\,dx< (b-a)f(b) $$

De la misma manera, $$ (b-a)f(a)<\int_{a}^{b}f(x)\,dx $$

En su caso sólo hay que verificar que $$ \int_0^1\log x\,dx<\log 1=0 $$ porque $\log$ no se define en $0$ , por lo que se trata de una integral impropia. Deberías ser capaz de hacerlo.

Answer 4

El $\log$ (cualquiera que sea la base del logaritmo a la que se refiera) es estrictamente creciente; su valor medio en cualquier intervalo adecuado de números ${}\leq n$ es menor que $\log(n)$ y su valor medio en cualquier intervalo de números adecuado ${}\geq n$ es mayor que $~\log(n)$ . Para los intervalos de longitud $~1$ la media es la integral.