Alguna cuestión de producto fibrado de esquema

Question

Definimos el proyectivo $n$ -espacio sobre cualquier anillo $A$ , $$\mathbb{P}_A^n:={\rm Proj}~A[x_0,\cdots,x_n]$$ .

mi primera pregunta es que $\mathbb{Z}[x_1,\cdots,x_n]\otimes_\mathbb{Z} A \cong A[x_1,\cdots,x_n]$ ¿Cómo se define un isomorfismo?

Si es un isomorfismo, entonces usando esto podemos demostrar que $\mathbb{P}_A^n \cong \mathbb{P}_\mathbb{Z}^n \times_{{\rm Spec}~Z} {\rm Spec}~A$ ?

Necesito probar en detalle. Ayúdame.

Answer 1

Pista para el isomorfismo del producto tensorial: Existe un mapa bilineal natural $\mathbb{Z}[x_1,\dots,x_n] \times A \rightarrow A[x_1,\dots,x_n]$ dado por $(p(x_1,\dots,x_n),a) \mapsto a \cdot p(x_1,\dots,x_n)$ .

Pistas para la segunda parte: ¿Sabes cómo demostrar que $\text{Spec}(A[x_1,\dots,x_n])$ es isomorfo a $\text{Spec}(\mathbb{Z}[x_1,\dots,x_n]) \times_{\text{Spec}(\mathbb{Z})} \text{Spec}(A)$ ? (El isomorfismo del producto tensorial es muy útil para esto...) Una vez hecho esto, se puede establecer el isomorfismo deseado utilizando la cubierta afín estándar del espacio proyectivo.