Demostración de la corrección de un heptágono regular arriostrado a partir de una identidad trigonométrica

Question

Este es un heptágono regular rígido que encontré en Wikipedia durante la investigación asociada para mi pregunta sobre pentágonos rígidos :

El texto adjunto dice

La construcción incluye dos triángulos isósceles que mantienen el resto de las barras fijas. El lado del heptágono regular $a$ el lado más corto del triángulo isósceles $e$ y el lado del triángulo isósceles más largo $d$ satisfacer $$7a^2+e^2=4d^2\tag1$$

Aquí $a,d,e$ son integrales, o más generalmente racionales. El texto de Wikipedia continúa diciendo que $(1)$ puede derivarse de la siguiente identidad: $$\sin\frac\pi7-\sin\frac{2\pi}7-\sin\frac{4\pi}7=-\frac{\sqrt7}2\tag2$$ (Si $a=1$ entonces resolviendo una ecuación de Pell (ver por ejemplo aquí ) obtenemos $d=\frac t{16}+\frac7t$ para $t\in\mathbb Q$ .)

Ahora es fácil demostrar $(2)$ mediante un cálculo polinómico mínimo. También es fácil demostrar $(1)$ una vez que se determina que la altura del triángulo isósceles es $\frac{\sqrt7}2a$ . Pero, ¿cómo $(1)$ seguir de $(2)$ ?

Si se puede demostrar la asociación, podría derivar una rígida nonágono regular con palos racionales a partir de la siguiente identidad. $$\sin\frac\pi9+\sin\frac{2\pi}9=\sin\frac{4\pi}9$$

Answer 1

Reescritura $\sin\frac\pi7$ como $-\sin\frac{8\pi}7$ y $(1)$ como $$\sin\frac{2\pi}7+\sin\frac{4\pi}7+\sin\frac{8\pi}7=\frac{\sqrt7}2$$ Pero esto también es fácil de demostrar: $$\cos\frac{2\pi}7+\cos\frac{4\pi}7+\cos\frac{8\pi}7=-\frac12$$ Supongamos ahora que el heptágono tiene una longitud lateral unitaria y que uno de sus lados abarca $-1$ y $0$ (aquí tratamos los puntos como equivalentes a los números complejos). Se erige el triángulo isósceles del que habla el texto de la Wikipedia en ese lado, apuntando hacia arriba. De forma muy natural inducida por la construcción, el vértice de ese triángulo es $e^{2\pi/7}+e^{4\pi/7}+e^{8\pi/7}$ que por las dos identidades anteriores es igual a $\frac12(-1+\sqrt7i)$ . Por lo tanto, la altura del triángulo isósceles es $\frac{\sqrt7}2$ y $(2)$ sigue.

Answer 2

El mismo argumento pero de otra manera... (me puse a dibujar y mientras tanto ya había dos soluciones...)

En la imagen tenemos $$ \begin{aligned} d^2-\frac 14e^2 &= E'I^2-JI^2 \\ &=E'J^2=(JL+LK-KE')^2\\ &=\left( BC\sin\frac {2\pi}7 + CD\sin\frac{3\pi}7 - DE'\sin\frac\pi7 \right)^2 \\ &=\left(\frac {a\sqrt 7}2\right)^2 =\frac 74a^2\ . \end{aligned} $$

Answer 3

La altura del heptágono regular, desde la base de un triángulo isósceles hasta el vértice opuesto, es $$a\left(\sin\frac{\pi}7 +\sin\frac{2\pi}7+\sin\frac{3\pi}7\right)$$ La diagonal más corta de un rombo es $2a\sin\frac\pi7$ por lo que la altitud del triángulo isósceles es $$a\left(-\sin\frac{\pi}7 +\sin\frac{2\pi}7+\sin\frac{3\pi}7\right)=\sqrt7a/2$$
La mitad de la base del triángulo isósceles es $e/2$ , entonces Pitágoras da (1)