Si $x= \frac{\pi}{10}$ ¿Cuál es el valor de $\cos(8x) +\cos(4x)$ ?

Question

Si $x= \dfrac{\pi}{10}$ ¿Cuál es el valor de $\cos(8x) +\cos(4x)$ ?

Mi intento:

$5x=\dfrac{\pi}{2}$ y $10x=\pi \to \cos(8x)=-\cos(2x)\;$ & $\;\cos(4x)=\sin(x) $ .

¿Cómo puedo completarlo?

Answer 1

Podemos aplicar las identidades suma-producto, es decir $\quad \cos \alpha + \cos \beta = 2\cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$ .

Así que tenemos: $$\cos (8x) + \cos (4x) = 2\cos(6x)\cos(2x) = 2\cos \frac{6\pi}{10} \cos \frac{2\pi}{10} = 2 \cos \frac{3\pi}{5} \cos\frac{\pi}{5}.$$

A continuación, sabemos que se mantiene (ver https://www.math-only-math.com/exact-value-of-cos-36-degree.html ): $$\cos \frac{\pi}{5} = \frac{\sqrt{5} + 1}{4} \quad \quad (\text{hint:} \quad \frac{\pi}{5}=36°).$$

Del mismo modo, sabemos que se mantiene: $$\cos \frac{3\pi}{5} = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}.$$

Por último, tenemos: $$\cos (8x) + \cos (4x) = 2 \frac{1 - \sqrt{5}}{4} \frac{\sqrt{5} + 1}{4} = ... =-\frac{1}{2}.$$