Encontrar las raíces de $x^3 - 93x - 308$ ¿con extrema rapidez?

Question

Estaba en un concurso de preguntas y respuestas y una de las preguntas era encontrar las raíces de este polinomio. En uno o dos segundos después de leer la pregunta, alguien del otro equipo zumbó y obtuvo la respuesta correcta $(-4, -7, 11)$ . ¿Cómo es posible? ¿Qué utilizó para obtener la respuesta? Se trata de una competición de secundaria.

Una forma que supongo que podría haber hecho es darse cuenta de que, como no hay $x^2$ término, la suma de las raíces es 0, entonces encuentra tres enteros $a, b, c$ tal que $abc = 308$ ¿pero hacer todo eso en 1 o 2 segundos? ¿es posible?

Vale, por los comentarios veo que sólo ha sido un cálculo mental muy rápido, no algún tipo de fórmula avanzada que desconozco. ¡Gracias por la ayuda!

Answer 1

Las fórmulas de Vieta sería la ruta más fácil. Supongamos que las raíces son $r_1,r_2,r_3$ . Las fórmulas dicen que $r_1r_2r_3 = 308$ , $r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3=-93$ y $r_1+r_2+r_3=0$ . Como el producto de las raíces es positivo y las raíces suman $0$ debemos tener dos raíces negativas y una positiva. A partir de ahí es sólo un poco de cálculo rápido y/o un poco de suerte. En la factorización $308$ para hacer esta respuesta, opté por hacer un árbol y obtuve $308 = 4*77 = 4*7*11$ . Eso me da los números necesarios ya que $4+7=11$ . Así que después de una doble comprobación con la división sintética con 11, obtengo las respuestas de $-4,-7,11$ .

Answer 2

El mismo razonamiento arroja el siguiente resultado general. La ligera abstracción tiene la ventaja de hacer mucho más claro el porqué del argumento.

Teorema $\ $ Si $\ f(x) = x^3+ dx - abc\in\Bbb Z[x]\,$ tiene $3$ raíces enteras, y $\,a<b <c,\,$ son primos distintos $ $ (o cuadrados de los mismos), $ $ y si $\,f(\pm1)\ne 0,\, $ entonces las raíces de $\,f(x)\,$ son $\,-a,\, -b,\,\ c.$

Prueba $\ $ Por la prueba de la raíz racional y Vieta las raíces son enteras con producto $\,abc.\,$ Por Vieta, la suma de las raíces $= 0\,$ por lo que las raíces son coprimas por pares (si no, primos) $p\mid r_1,r_2\,\Rightarrow\,p\mid r_3 = -r_1-r_2$ así que $\,p^3\mid r_1r_2r_3= abc,\,$ contra hipótesis). Dado que $\,a,b,c\,$ son potencias de primos distintos, por factorización única, la única forma $\,abc\,$ puede ser factorizado en $\,3\,$ factores coprimosos por pares $(\ne \pm1,\,$ desde $f(\pm1)\ne 0)$ es si esos factores son $\,a,b,c\,$ hasta las señales. Como las raíces tienen suma $= 0$ y el producto $>0$ hay dos raíces negativas y una positiva (necesariamente la raíz $\,c\,$ de mayor magnitud).

Answer 3

Comprueba el teorema de la raíz racional: http://en.wikipedia.org/wiki/Rational_root_theorem editar: dejar $p\over q$ sea una raíz, entonces $p|a_0$ y $q|a_n$ para $a_nx^n+...+a_0=0$ desde $a_n=1$ sólo hay que comprobar los divisores de 308=2*7*2*11.

Answer 4

Probablemente buscaron soluciones enteras. Si un número entero $n$ resuelve $n^3-93n-308=0$ entonces $n(n^2-93)=308$ por lo que $n$ divide $308=2\times2\times7\times11$ . Por otro lado, si $|n|\geqslant20$ entonces $n^2-93\geqslant300$ por lo que $|n|(n^2-93)\geqslant300|n|\geqslant300\times20$ En particular $n(n^2-93)\ne308$ . Uno se queda con los factores de $308$ cuyo valor absoluto es inferior a $20$ .

Además, ningún número entero congruente con $2$ modulo $4$ puede resolver esto porque si $n=2\pmod{4}$ entonces $n^2=0\pmod{4}$ por lo que $n^2-93=1\pmod{4}$ y $n(n^2-93)=2\pmod{4}$ mientras que $308=0\pmod{4}$ . Así, las únicas raíces posibles son $\pm4$ , $\pm7$ y $\pm11$ .

Todavía se puede refinar esto, observando que $n$ y $n^2-93$ deben tener el mismo signo. Como $4^2\lt93$ , $7^2\lt93$ y $11^2\gt93$ Esto reduce la lista de candidatos a $-4$ , $-7$ y $+11$ .

Por supuesto, nada de esto garantiza que se trate de soluciones pero el polinomio que tiene coeficientes enteros con coeficiente principal $1$ se sabe a priori que toda solución racional es en realidad un número entero. La derivada $3n^2-93=3(n^2-31)$ al no tener raíz racional, no puede haber ninguna raíz racional doble, por lo que $-4$ , $-7$ y $+11$ serían las tres soluciones o al menos dos raíces serían irracionales. Y comprobando que $-4$ , $-7$ y $+11$ son realmente soluciones es bastante factible en la cabeza. Por ejemplo, $n=+11$ da $n^2-93=121-93=28=4\times7$ bingo.

Answer 5

Dado que los respondieron a la pregunta tan rápidamente, deben haber notado, como tú, que si las raíces son $a,b,c$ entonces tenemos $|abc|=308$ . Como las dos últimas cifras son divisibles por $4$ Así es $308$ divisible por $4$ . Rápidamente uno puede darse cuenta de que $308=77\cdot 4$ que rápidamente da $308=7\cdot 11\cdot 4$ .

Hay $3$ raíces y porque tenemos $-308$ Sólo uno es negativo o dos de ellos son negativos. Necesitamos $a+b+c=0$ . Desde $7+4=11$ , debería llegar rápidamente que $-7+-4+11=-11+1=0$ así que $-4,-7,11$ son las raíces que quieres.

Si estás bien acostumbrado a usar el Teorema de las Raíces Racionales y eres bueno en Matemáticas mentales, no es un salto que uno pueda hacer esto en unos pocos segundos (estoy asumiendo que en el calor de la competencia el tiempo parecía más rápido de lo que realmente era).